Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 4 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - 4 \\ - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 4 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - 4 \\ - 2 & \frac{1}{2} \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}) + 4 \cdot - 2 & \frac{1}{3} \cdot - 4 + 4 (\frac{1}{2}) \\ 2 (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot - 2 & 2 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Paso 1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} - \frac{73}{9} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & - \frac{33}{4} \end{array}]$

Paso 2

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 3

Find the determinant.

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{73}{9} (- \frac{33}{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{73}{9}$ al numerador.

$\frac{- 73}{9} (- \frac{33}{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{33}{4}$ al numerador.

$\frac{- 73}{9} \cdot \frac{- 33}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.1.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{- 73}{3 (3)} \cdot \frac{- 33}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.1.4

Factoriza $3$ de $- 33$ .

$\frac{- 73}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 73}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 73}{3} \cdot \frac{- 11}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $\frac{- 73}{3}$ por $\frac{- 11}{4}$ .

$\frac{- 73 \cdot - 11}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 73$ por $- 11$ .

$\frac{803}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{803}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{803}{12} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{803}{12} - \frac{2}{9}$

Paso 3.2.2

Para escribir $\frac{803}{12}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{803}{12} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

Paso 3.2.3

Para escribir $- \frac{2}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{803}{12} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{803}{12}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{803 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $12$ por $3$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4}$

Paso 3.2.4.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{803 \cdot 3}{36} - \frac{2 \cdot 4}{36}$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{803 \cdot 3 - 2 \cdot 4}{36}$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $803$ por $3$ .

$\frac{2409 - 2 \cdot 4}{36}$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{2409 - 8}{36}$

Paso 3.2.6.3

Resta $8$ de $2409$ .

$\frac{2401}{36}$

Paso 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 5

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{2401}{36}} [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{36}{2401}) [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Paso 7

Multiplica $\frac{36}{2401}$ por $1$ .

$\frac{36}{2401} [\begin{array}{c} - \frac{33}{4} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{73}{9} \end{array}]$

Paso 8

Multiplica $\frac{36}{2401}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{36}{2401} (- \frac{33}{4}) & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{33}{4}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.1.2

Factoriza $4$ de $36$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 (9)}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 9}{2401} \cdot \frac{- 33}{4} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{2401} \cdot - 33 & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.2

Combina $\frac{9}{2401}$ y $- 33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9 \cdot - 33}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.3

Multiplica $9$ por $- 33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 297}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{2}{3}) \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.5.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{3 (12)}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{3 \cdot 12}{2401} \cdot \frac{- 2}{3} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{12}{2401} \cdot - 2 \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.6

Combina $\frac{12}{2401}$ y $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{12 \cdot - 2}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.7

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & \frac{- 24}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{36}{2401} (- \frac{1}{3}) & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.9.2

Factoriza $3$ de $36$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{3 (12)}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.9.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{3 \cdot 12}{2401} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.9.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{12}{2401} \cdot - 1 & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.10

Combina $\frac{12}{2401}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{12 \cdot - 1}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.11

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ \frac{- 12}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{36}{2401} (- \frac{73}{9}) \end{array}]$

Paso 9.13

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 9.13.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{73}{9}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{36}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Paso 9.13.2

Factoriza $9$ de $36$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{9 (4)}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Paso 9.13.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{9 \cdot 4}{2401} \cdot \frac{- 73}{9} \end{array}]$

Paso 9.13.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{4}{2401} \cdot - 73 \end{array}]$

Paso 9.14

Combina $\frac{4}{2401}$ y $- 73$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{4 \cdot - 73}{2401} \end{array}]$

Paso 9.15

Multiplica $4$ por $- 73$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & \frac{- 292}{2401} \end{array}]$

Paso 9.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{297}{2401} & - \frac{24}{2401} \\ - \frac{12}{2401} & - \frac{292}{2401} \end{array}]$