Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} - 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} - 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot - 2 + 1 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot - 2 + 9 \cdot 1 & 3 \cdot 4 + 9 \cdot 3 \end{array}]$

Paso 1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 5 & - 5 \\ 3 & 39 \end{array}]$

Paso 2

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 3

Find the determinant.

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 39 - 3 \cdot - 5$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $5$ por $39$ .

$195 - 3 \cdot - 5$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 5$ .

$195 + 15$

Paso 3.2.2

Suma $195$ y $15$ .

$210$

Paso 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 5

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{210} [\begin{array}{c} 39 & 5 \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $\frac{1}{210}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{210} \cdot 39 & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $3$ de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (70)} \cdot 39 & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Factoriza $3$ de $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot 13) & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot 13) & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{70} \cdot 13 & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{70}$ y $13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{210} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $5$ de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{5 (42)} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.3.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{5 \cdot 42} \cdot 5 \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.3.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{210} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $3$ de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{3 (70)} \cdot - 3 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot - 1) & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.4.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{3 \cdot 70} \cdot (3 \cdot - 1) & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.4.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{1}{70} \cdot - 1 & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5

Combina $\frac{1}{70}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ \frac{- 1}{70} & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{210} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.7.1

Factoriza $5$ de $210$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{5 (42)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.7.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{5 \cdot 42} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.7.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{70} & \frac{1}{42} \\ - \frac{1}{70} & \frac{1}{42} \end{array}]$