Matemática discreta Ejemplos

${(5 u + 2 v)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 u)}^{4 - k} \cdot {(2 v)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 u)}^{4 - 0} \cdot {(2 v)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 u)}^{4 - 1} \cdot {(2 v)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 u)}^{4 - 2} \cdot {(2 v)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 u)}^{4 - 3} \cdot {(2 v)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 u)}^{4 - 4} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(5 u)}^{4}$ por $1$ .

${(5 u)}^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $5 u$ .

$5^{4} u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.3

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$625 u^{4} \cdot {(2 v)}^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$625 u^{4} \cdot (2^{0} v^{0}) + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$625 \cdot 2^{0} u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$625 \cdot 1 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.7

Multiplica $625$ por $1$ .

$625 u^{4} v^{0} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$625 u^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.9

Multiplica $625$ por $1$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot {(5 u)}^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $5 u$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot (5^{3} u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.11

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$625 u^{4} + 4 \cdot (125 u^{3}) \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.12

Multiplica $125$ por $4$ .

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot {(2 v)}^{1} + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.13

Simplifica.

$625 u^{4} + 500 u^{3} \cdot (2 v) + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$625 u^{4} + 500 \cdot 2 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.15

Multiplica $500$ por $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot {(5 u)}^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.16

Aplica la regla del producto a $5 u$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (5^{2} u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.17

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 6 \cdot (25 u^{2}) \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.18

Multiplica $25$ por $6$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot {(2 v)}^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 u^{2} \cdot (2^{2} v^{2}) + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.20

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 2^{2} u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.21

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 150 \cdot 4 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.22

Multiplica $150$ por $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot {(5 u)}^{1} \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.23

Simplifica.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 4 \cdot (5 u) \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.24

Multiplica $5$ por $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot {(2 v)}^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.25

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 u \cdot (2^{3} v^{3}) + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.26

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 2^{3} u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.27

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 20 \cdot 8 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.28

Multiplica $20$ por $8$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.29

Multiplica ${(5 u)}^{0}$ por $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(5 u)}^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.30

Aplica la regla del producto a $5 u$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 5^{0} u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.31

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.32

Multiplica $u^{0}$ por $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + u^{0} \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.33

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 1 \cdot {(2 v)}^{4}$

Paso 4.34

Multiplica ${(2 v)}^{4}$ por $1$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + {(2 v)}^{4}$

Paso 4.35

Aplica la regla del producto a $2 v$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 2^{4} v^{4}$

Paso 4.36

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$625 u^{4} + 1000 u^{3} v + 600 u^{2} v^{2} + 160 u v^{3} + 16 v^{4}$