Matemática discreta Ejemplos

{(2 k + 1)}^{3}

${(2 k + 1)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 k)}^{3 - k} \cdot {(1)}^{k}

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 k)}^{3 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 k)}^{3 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 k)}^{3 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 k)}^{3 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 k)}^{3 - 3} \cdot {(1)}^{3}

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 k)}^{3 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 k)}^{3 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 k)}^{3 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 k)}^{3 - 3} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

1 \cdot {(2 k)}^{3} \cdot {(1)}^{0} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$1 \cdot {(2 k)}^{3} \cdot {(1)}^{0} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica

1

$1$ por

{(1)}^{0}

${(1)}^{0}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Mueve

{(1)}^{0}

${(1)}^{0}$ .

{(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.1.2

Multiplica

{(1)}^{0}

${(1)}^{0}$ por

1

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Eleva

1

$1$ a la potencia de

1

$1$ .

{(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.1.2.2

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.1.3

Suma

0

$0$ y

1

$1$ .

1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.2

Simplifica

1^{1} \cdot {(2 k)}^{3}

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3}$ .

{(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

${(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a

2 k

$2 k$ .

2^{3} k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$2^{3} k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.4

Eleva

2

$2$ a la potencia de

3

$3$ .

8 k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.5

Aplica la regla del producto a

2 k

$2 k$ .

8 k^{3} + 3 \cdot (2^{2} k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 3 \cdot (2^{2} k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.6

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

8 k^{3} + 3 \cdot (4 k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 3 \cdot (4 k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.7

Multiplica

4

$4$ por

3

$3$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.8

Evalúa el exponente.

8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.9

Multiplica

12

$12$ por

1

$1$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.10

Simplifica.

8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot (2 k) \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot (2 k) \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.11

Multiplica

2

$2$ por

3

$3$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot 1 + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot 1 + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.13

Multiplica

6

$6$ por

1

$1$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

Paso 4.14

Multiplica

1

$1$ por

{(1)}^{3}

${(1)}^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.14.1

Mueve

{(1)}^{3}

${(1)}^{3}$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{0}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{0}$

Paso 4.14.2

Multiplica

{(1)}^{3}

${(1)}^{3}$ por

1

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.14.2.1

Eleva

1

$1$ a la potencia de

1

$1$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{0}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{0}$

Paso 4.14.2.2

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}$

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}$

Paso 4.14.3

Suma

3

$3$ y

1

$1$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$

Paso 4.15

Simplifica

1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}

$1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$ .

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4}

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4}$

Paso 4.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1$

8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1$