Matemática discreta Ejemplos

${(2 + 3 i)}^{2}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2)}^{2 - k} \cdot {(3 i)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{2 - 0} \cdot {(3 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{2 - 1} \cdot {(3 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2)}^{2 - 2} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4

Simplifica el resultado del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica ${(2)}^{2}$ por $1$ .

${(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.3

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$4 \cdot (3^{0} i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \cdot (1 i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.5

Multiplica $i^{0}$ por $1$ .

$4 \cdot i^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \cdot 1 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.7

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.8

Evalúa el exponente.

$4 + 2 \cdot 2 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 4 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.10

Simplifica.

$4 + 4 \cdot (3 i) + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.11

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.12

Multiplica ${(2)}^{0}$ por $1$ .

$4 + 12 i + {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.13

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.14

Multiplica ${(3 i)}^{2}$ por $1$ .

$4 + 12 i + {(3 i)}^{2}$

Paso 4.1.15

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$4 + 12 i + 3^{2} i^{2}$

Paso 4.1.16

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$4 + 12 i + 9 i^{2}$

Paso 4.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4 + 12 i + 9 \cdot - 1$

Paso 4.1.18

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$4 + 12 i - 9$

Paso 4.2

Resta $9$ de $4$ .

$- 5 + 12 i$