Matemática discreta Ejemplos

{(1 + i)}^{4}

${(1 + i)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece

{(a + b)}^{n} = n \sum k = 0 n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

4 \sum k = 0 \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(i)}^{k}

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(i)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(i)}^{4}

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4

Simplifica el resultado del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

1

$1$ por

{(1)}^{4}

${(1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Multiplica

1

$1$ por

{(1)}^{4}

${(1)}^{4}$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Eleva

1

$1$ a la potencia de

1

$1$ .

1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1^{1 + 4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.1.2

Suma

$1$ y

$4$ .

$1^{5} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica

$1^{5} \cdot {(i)}^{0}$ .

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.5

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$1 + 4 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

$1 + 4 \cdot i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.8

Multiplica

$6$ por

$1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.9

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.10

Multiplica

$6$ por

$- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.11

Evalúa el exponente.

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.12

Multiplica

$4$ por

$1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.13

Factoriza

$i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (i^{2} \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.14

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- 1 \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.15

Reescribe

$- 1 i$ como

$- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.16

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.17

Multiplica

$1$ por

${(1)}^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.17.1

Multiplica

$1$ por

${(1)}^{0}$ .

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Paso 4.1.17.1.1

Eleva

$1$ a la potencia de

$1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.17.1.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1 + 0} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.17.2

Suma

$1$ y

$0$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(i)}^{4}$

Paso 4.1.18

Simplifica

$1^{1} \cdot {(i)}^{4}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i)}^{4}$

Paso 4.1.19

Reescribe

$i^{4}$ como

$1$ .

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Paso 4.1.19.1

Reescribe

$i^{4}$ como

${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Paso 4.1.19.2

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Paso 4.1.19.3

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1

Resta

$6$ de

$1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Paso 4.2.2

Suma

$- 5$ y

$1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Paso 4.2.3

Resta

$4 i$ de

$4 i$ .

$- 4 + 0$

Paso 4.2.4

Suma

$- 4$ y

$0$ .

$- 4$