Matemática discreta Ejemplos

$2 x + 2 y = 3$ , $- x + 2 y = 1$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = 3 - 2 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $2 y = 3 - 2 x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $2 y = 3 - 2 x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Paso 1.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3}{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{2} + \frac{- x}{1}$

Paso 1.3.3.1.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} - x$

Paso 1.4

Reordena $\frac{3}{2}$ y $- x$ .

$y = - x + \frac{3}{2}$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- 1$ .

$m_{1} = - 1$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 1 + x$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 y = 1 + x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 y = 1 + x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $\frac{1}{2}$ y $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{1}{2}$ .

$m_{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$2 x + 2 y = 3, - x + 2 y = 1$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resuelve $x$ en $2 x + 2 y = 3$ .

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Paso 6.1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3 - 2 y$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2

Divide cada término en $2 x = 3 - 2 y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Divide cada término en $2 x = 3 - 2 y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} + \frac{- 2 y}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2}$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{2} + \frac{- y}{1}$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.1.2.3.1.2.4

Divide $- y$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- x + 2 y = 1$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{3}{2} - y$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $- x + 2 y = 1$ por $\frac{3}{2} - y$ .

$- (\frac{3}{2} - y) + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $- (\frac{3}{2} - y) + 2 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $- - y$ .

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + y + 2 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.2.2.1.2

Suma $y$ y $2 y$ .

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

$- \frac{3}{2} + 3 y = 1$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $- \frac{3}{2} + 3 y = 1$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Suma $\frac{3}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 1 + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$3 y = \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 y = \frac{2 + 3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.1.4

Suma $2$ y $3$ .

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$3 y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $3 y = \frac{5}{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $3 y = \frac{5}{2}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{\frac{5}{2}}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.2.3.2

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.3.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{5}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.3.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3}{2} - y$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{5}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{3}{2} - y$ por $\frac{5}{6}$ .

$x = \frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $\frac{3}{2} - (\frac{5}{6})$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.4.2.1.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 \cdot 3 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{9 - 5}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.4.2

Resta $5$ de $9$ .

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{4}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 6.4.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.4.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{2}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - 1$

$m_{2} = \frac{1}{2}$

$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6})$

Paso 8