Matemática discreta Ejemplos

$y = - 2 x + 1$ , $y = \frac{1}{2} x + 4$

Paso 1

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- 2$ .

$m_{1} = - 2$

Paso 2

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 2.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{x}{2} + 4$

Paso 2.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} x + 4$

Paso 3

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{1}{2}$ .

$m_{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$y = - 2 x + 1, y = \frac{1}{2} x + 4$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 5.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$- 2 x + 1 = \frac{1}{2} x + 4$

Paso 5.2

Resuelve $- 2 x + 1 = \frac{1}{2} x + 4$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$- 2 x + 1 = \frac{x}{2} + 4$

Paso 5.2.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.2.1

Resta $\frac{x}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x + 1 - \frac{x}{2} = 4$

Paso 5.2.2.2

Para escribir $- 2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.3

Combina $- 2 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 x \cdot 2 - x}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.5.1.1

Factoriza $x$ de $- 2 x \cdot 2 - x$ .

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Paso 5.2.2.5.1.1.1

Factoriza $x$ de $- 2 x \cdot 2$ .

$\frac{x (- 2 \cdot 2) - x}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.5.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x (- 2 \cdot 2) + x \cdot - 1}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.5.1.1.3

Factoriza $x$ de $x (- 2 \cdot 2) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 \cdot 2 - 1)}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{x (- 4 - 1)}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.5.1.3

Resta $1$ de $- 4$ .

$\frac{x \cdot - 5}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.5.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x}{2} + 1 = 4$

Paso 5.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{5 x}{2} = 4 - 1$

Paso 5.2.3.2

Resta $1$ de $4$ .

$- \frac{5 x}{2} = 3$

Paso 5.2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.5.1.1

Simplifica $- \frac{2}{5} (- \frac{5 x}{2})$ .

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Paso 5.2.5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{5}$ al numerador.

$\frac{- 2}{5} (- \frac{5 x}{2}) = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 x}{2}$ al numerador.

$\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{2} = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{5} (- 5 x) = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.5.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{5} (5 (- x)) = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - x = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.2.5.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - \frac{2}{5} \cdot 3$

Paso 5.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.5.2.1

Simplifica $- \frac{2}{5} \cdot 3$ .

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Paso 5.2.5.2.1.1

Multiplica $- \frac{2}{5} \cdot 3$ .

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Paso 5.2.5.2.1.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x = - 3 (\frac{2}{5})$

Paso 5.2.5.2.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{5}$ .

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{5}$

Paso 5.2.5.2.1.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Paso 5.2.5.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6}{5}$

Paso 5.3

Evalúa $y$ cuando $x = - \frac{6}{5}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $- \frac{6}{5}$ por $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 4$

Paso 5.3.2

Sustituye $- \frac{6}{5}$ por $x$ en $y = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{6}{5}) + 4$ , y resuelve $y$ .

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Paso 5.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{2} \cdot (- 1 (\frac{6}{5})) + 4$

Paso 5.3.2.2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (- 1 (\frac{6}{5})) + 4$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.2.1.1

Reescribe $- 1 (\frac{6}{5})$ como $- (\frac{6}{5})$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (- (\frac{6}{5})) + 4$

Paso 5.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- (\frac{6}{5})$ al numerador.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 6}{5} + 4$

Paso 5.3.2.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 3)}{5} + 4$

Paso 5.3.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{5} + 4$

Paso 5.3.2.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 3}{5} + 4$

Paso 5.3.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{5} + 4$

Paso 5.3.2.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.3.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{3}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Paso 5.3.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 3 + 4 \cdot 5}{5}$

Paso 5.3.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.2.5.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$y = \frac{- 3 + 20}{5}$

Paso 5.3.2.2.5.2

Suma $- 3$ y $20$ .

$y = \frac{17}{5}$

Paso 5.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{6}{5}, \frac{17}{5})$

Paso 6

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - 2$

$m_{2} = \frac{1}{2}$

$(- \frac{6}{5}, \frac{17}{5})$

Paso 7