Matemática discreta Ejemplos

$y = - \frac{1}{3} x + 3$ , $- 3 x + y = - 7$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 1.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{3} x) + 3$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{3} x + 3$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{1}{3}$ .

$m_{1} = - \frac{1}{3}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 7 + 3 x$

Paso 3.3

Reordena $- 7$ y $3 x$ .

$y = 3 x - 7$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $3$ .

$m_{2} = 3$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$y = - \frac{1}{3} x + 3, - 3 x + y = - 7$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- 3 x + y = - 7$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{x}{3} + 3$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $- 3 x + y = - 7$ por $- \frac{x}{3} + 3$ .

$- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $- 3 x - \frac{x}{3} + 3$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$- 3 x - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.2

Para escribir $- 3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 3 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Combina $- 3 x$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 3}{3} - \frac{x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{- 3 x \cdot 3 - x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.4.1.1

Factoriza $x$ de $- 3 x \cdot 3 - x$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $x$ de $- 3 x \cdot 3$ .

$\frac{x (- 3 \cdot 3) - x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $x$ de $x (- 3 \cdot 3) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{x (- 3 \cdot 3 - 1)}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{x (- 9 - 1)}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.4.1.3

Resta $1$ de $- 9$ .

$\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{x \cdot - 10}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.4.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 10 \cdot x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.2.2.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3

Resuelve $x$ en $- \frac{10 x}{3} + 3 = - 7$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{10 x}{3} = - 7 - 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.1.2

Resta $3$ de $- 7$ .

$- \frac{10 x}{3} = - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$- \frac{10 x}{3} = - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.1.1

Simplifica $- \frac{3}{10} (- \frac{10 x}{3})$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{10}$ al numerador.

$\frac{- 3}{10} \cdot (- \frac{10 x}{3}) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{10 x}{3}$ al numerador.

$\frac{- 3}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{10} \cdot \frac{- 10 x}{3} = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$\frac{- 1}{10} \cdot (- 10 x) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 6.3.3.1.1.2.1

Factoriza $10$ de $- 10 x$ .

$\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{10} \cdot (10 (- x)) = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 6.3.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - \frac{3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.1

Simplifica $- \frac{3}{10} \cdot - 10$ .

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Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 6.3.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{10}$ al numerador.

$x = \frac{- 3}{10} \cdot - 10$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.2.1.1.2

Factoriza $10$ de $- 10$ .

$x = \frac{- 3}{10} \cdot (10 (- 1))$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 3}{10} \cdot (10 \cdot - 1)$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.3.3.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

$x = 3$

$y = - \frac{x}{3} + 3$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - \frac{x}{3} + 3$ por $3$ .

$y = - \frac{3}{3} + 3$

$x = 3$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $- \frac{3}{3} + 3$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3}{3} + 3$

$x = 3$

Paso 6.4.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = - 1 \cdot 1 + 3$

$x = 3$

$y = - 1 \cdot 1 + 3$

$x = 3$

Paso 6.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - 1 + 3$

$x = 3$

$y = - 1 + 3$

$x = 3$

Paso 6.4.2.1.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(3, 2)$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - \frac{1}{3}$

$m_{2} = 3$

$(3, 2)$

Paso 8