Matemática discreta Ejemplos

$x + 6 y = - 5$ , $4 x + 2 y = 2$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y = - 5 - x$

Paso 1.3

Divide cada término en $6 y = - 5 - x$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $6 y = - 5 - x$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{- 5}{6} + \frac{- x}{6}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y}{6} = \frac{- 5}{6} + \frac{- x}{6}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 5}{6} + \frac{- x}{6}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5}{6} + \frac{- x}{6}$

Paso 1.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5}{6} - \frac{x}{6}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $- \frac{5}{6}$ y $- \frac{x}{6}$ .

$y = - \frac{x}{6} - \frac{5}{6}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{6} x) - \frac{5}{6}$

Paso 1.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{6} x - \frac{5}{6}$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{1}{6}$ .

$m_{1} = - \frac{1}{6}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = 2 - 4 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 y = 2 - 4 x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 y = 2 - 4 x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 4 x}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 4 x}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{2} + \frac{- 4 x}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide $2$ por $2$ .

$y = 1 + \frac{- 4 x}{2}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$y = 1 + \frac{2 (- 2 x)}{2}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = 1 + \frac{2 (- 2 x)}{2 (1)}$

Paso 3.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = 1 + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 1 + \frac{- 2 x}{1}$

Paso 3.3.3.1.2.2.4

Divide $- 2 x$ por $1$ .

$y = 1 - 2 x$

Paso 3.4

Reordena $1$ y $- 2 x$ .

$y = - 2 x + 1$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- 2$ .

$m_{2} = - 2$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$x + 6 y = - 5, 4 x + 2 y = 2$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5 - 6 y$

$4 x + 2 y = 2$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 5 - 6 y$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $4 x + 2 y = 2$ por $- 5 - 6 y$ .

$4 (- 5 - 6 y) + 2 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $4 (- 5 - 6 y) + 2 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot - 5 + 4 (- 6 y) + 2 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$- 20 + 4 (- 6 y) + 2 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 20 - 24 y + 2 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

$- 20 - 24 y + 2 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.2.2.1.2

Suma $- 24 y$ y $2 y$ .

$- 20 - 22 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

$- 20 - 22 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

$- 20 - 22 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

$- 20 - 22 y = 2$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $- 20 - 22 y = 2$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$- 22 y = 2 + 20$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.3.1.2

Suma $2$ y $20$ .

$- 22 y = 22$

$x = - 5 - 6 y$

$- 22 y = 22$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $- 22 y = 22$ por $- 22$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $- 22 y = 22$ por $- 22$ .

$\frac{- 22 y}{- 22} = \frac{22}{- 22}$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 22$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 22 y}{- 22} = \frac{22}{- 22}$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{22}{- 22}$

$x = - 5 - 6 y$

$y = \frac{22}{- 22}$

$x = - 5 - 6 y$

$y = \frac{22}{- 22}$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Divide $22$ por $- 22$ .

$y = - 1$

$x = - 5 - 6 y$

$y = - 1$

$x = - 5 - 6 y$

$y = - 1$

$x = - 5 - 6 y$

$y = - 1$

$x = - 5 - 6 y$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 5 - 6 y$ por $- 1$ .

$x = - 5 - 6 \cdot - 1$

$y = - 1$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $- 5 - 6 \cdot - 1$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$x = - 5 + 6$

$y = - 1$

Paso 6.4.2.1.2

Suma $- 5$ y $6$ .

$x = 1$

$y = - 1$

$x = 1$

$y = - 1$

$x = 1$

$y = - 1$

$x = 1$

$y = - 1$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, - 1)$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - \frac{1}{6}$

$m_{2} = - 2$

$(1, - 1)$

Paso 8