Matemática discreta Ejemplos

$7 x + y = - 1$ , $- 14 x + 12 y = 2$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $7 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1 - 7 x$

Paso 1.3

Reordena $- 1$ y $- 7 x$ .

$y = - 7 x - 1$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- 7$ .

$m_{1} = - 7$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Suma $14 x$ a ambos lados de la ecuación.

$12 y = 2 + 14 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 y = 2 + 14 x$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 y = 2 + 14 x$ por $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{2}{12} + \frac{14 x}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 y}{12} = \frac{2}{12} + \frac{14 x}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{12} + \frac{14 x}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{12} + \frac{14 x}{12}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} + \frac{14 x}{12}$

Paso 3.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} + \frac{14 x}{12}$

Paso 3.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{6} + \frac{14 x}{12}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $14$ y $12$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $14 x$ .

$y = \frac{1}{6} + \frac{2 (7 x)}{12}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$y = \frac{1}{6} + \frac{2 (7 x)}{2 (6)}$

Paso 3.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{6} + \frac{2 (7 x)}{2 \cdot 6}$

Paso 3.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{6} + \frac{7 x}{6}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $\frac{1}{6}$ y $\frac{7 x}{6}$ .

$y = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{6}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{7}{6} x + \frac{1}{6}$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{7}{6}$ .

$m_{2} = \frac{7}{6}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$7 x + y = - 1, - 14 x + 12 y = 2$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resta $7 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1 - 7 x$

$- 14 x + 12 y = 2$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 1 - 7 x$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $- 14 x + 12 y = 2$ por $- 1 - 7 x$ .

$- 14 x + 12 (- 1 - 7 x) = 2$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $- 14 x + 12 (- 1 - 7 x)$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 14 x + 12 \cdot - 1 + 12 (- 7 x) = 2$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$- 14 x - 12 + 12 (- 7 x) = 2$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $- 7$ por $12$ .

$- 14 x - 12 - 84 x = 2$

$y = - 1 - 7 x$

$- 14 x - 12 - 84 x = 2$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.2.2.1.2

Resta $84 x$ de $- 14 x$ .

$- 98 x - 12 = 2$

$y = - 1 - 7 x$

$- 98 x - 12 = 2$

$y = - 1 - 7 x$

$- 98 x - 12 = 2$

$y = - 1 - 7 x$

$- 98 x - 12 = 2$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3

Resuelve $x$ en $- 98 x - 12 = 2$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- 98 x = 2 + 12$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.1.2

Suma $2$ y $12$ .

$- 98 x = 14$

$y = - 1 - 7 x$

$- 98 x = 14$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $- 98 x = 14$ por $- 98$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $- 98 x = 14$ por $- 98$ .

$\frac{- 98 x}{- 98} = \frac{14}{- 98}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 98$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 98 x}{- 98} = \frac{14}{- 98}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{14}{- 98}$

$y = - 1 - 7 x$

$x = \frac{14}{- 98}$

$y = - 1 - 7 x$

$x = \frac{14}{- 98}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Cancela el factor común de $14$ y $- 98$ .

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Paso 6.3.2.3.1.1

Factoriza $14$ de $14$ .

$x = \frac{14 (1)}{- 98}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.3.1.2.1

Factoriza $14$ de $- 98$ .

$x = \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot - 7}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot - 7}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{- 7}$

$y = - 1 - 7 x$

$x = \frac{1}{- 7}$

$y = - 1 - 7 x$

$x = \frac{1}{- 7}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{7}$

$y = - 1 - 7 x$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = - 1 - 7 x$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = - 1 - 7 x$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = - 1 - 7 x$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{1}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 1 - 7 x$ por $- \frac{1}{7}$ .

$y = - 1 - 7 (- \frac{1}{7})$

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $- 1 - 7 (- \frac{1}{7})$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{7}$ al numerador.

$y = - 1 - 7 (\frac{- 1}{7})$

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 6.4.2.1.1.1.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$y = - 1 + 7 (- 1) (\frac{- 1}{7})$

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 6.4.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$y = - 1 + 7 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{7}))$

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 6.4.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 - 1 \cdot - 1$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = - 1 - 1 \cdot - 1$

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - 1 + 1$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = - 1 + 1$

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 6.4.2.1.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$y = 0$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = 0$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = 0$

$x = - \frac{1}{7}$

$y = 0$

$x = - \frac{1}{7}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{1}{7}, 0)$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - 7$

$m_{2} = \frac{7}{6}$

$(- \frac{1}{7}, 0)$

Paso 8