Matemática discreta Ejemplos

$- 7 x + 3 y = 4$ , $4 x - 5 y = 24$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Suma $7 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 4 + 7 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $3 y = 4 + 7 x$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $3 y = 4 + 7 x$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $\frac{4}{3}$ y $\frac{7 x}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{7}{3}$ .

$m_{1} = \frac{7}{3}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 y = 24 - 4 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $- 5 y = 24 - 4 x$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 5 y = 24 - 4 x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Paso 3.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{4 x}{5}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $- \frac{24}{5}$ y $\frac{4 x}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{24}{5}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{4}{5} x - \frac{24}{5}$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{4}{5}$ .

$m_{2} = \frac{4}{5}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$- 7 x + 3 y = 4, 4 x - 5 y = 24$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resuelve $x$ en $- 7 x + 3 y = 4$ .

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Paso 6.1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 x = 4 - 3 y$

$4 x - 5 y = 24$

Paso 6.1.2

Divide cada término en $- 7 x = 4 - 3 y$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Divide cada término en $- 7 x = 4 - 3 y$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Paso 6.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Paso 6.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Paso 6.1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $4 x - 5 y = 24$ por $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ .

$4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $4 (- \frac{4}{7})$ .

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{4}{7}$ .

$\frac{- 4 \cdot 4}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $4 \frac{3 y}{7}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Combina $4$ y $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{4 (3 y)}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.2

Para escribir $- 5 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y \cdot \frac{7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.3

Combina $- 5 y$ y $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} + \frac{- 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 16 + 12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.6

Multiplica $7$ por $- 5$ .

$\frac{- 16 + 12 y - 35 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.7

Resta $35 y$ de $12 y$ .

$\frac{- 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.8

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.9

Factoriza $- 1$ de $- 23 y$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - (23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (16) - (23 y)$ .

$\frac{- 1 (16 + 23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.2.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 7$ .

$- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7})$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16 + 23 y}{7}$ al numerador.

$- 7 \frac{- (16 + 23 y)}{7} = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.2.1.1.1.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$7 (- 1) (\frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Multiplica.

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (16 + 23 y) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Multiplica $16 + 23 y$ por $1$ .

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica $- 7$ por $24$ .

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.3.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$23 y = - 168 - 16$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.3.2

Resta $16$ de $- 168$ .

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.4

Divide cada término en $23 y = - 184$ por $23$ y simplifica.

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Paso 6.3.4.1

Divide cada término en $23 y = - 184$ por $23$ .

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.2.1

Cancela el factor común de $23$ .

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Paso 6.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.4.3.1

Divide $- 184$ por $23$ .

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 8$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ por $- 8$ .

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $- \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 4 + 3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Paso 6.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.2.1.2.1

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$x = \frac{- 4 - 24}{7}$

$y = - 8$

Paso 6.4.2.1.2.2

Resta $24$ de $- 4$ .

$x = \frac{- 28}{7}$

$y = - 8$

Paso 6.4.2.1.2.3

Divide $- 28$ por $7$ .

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 4, - 8)$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = \frac{7}{3}$

$m_{2} = \frac{4}{5}$

$(- 4, - 8)$

Paso 8