Matemática discreta Ejemplos

$5 x + 2 y = 20$ , $x + 2 y = 8$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = 20 - 5 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $2 y = 20 - 5 x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $2 y = 20 - 5 x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{20}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{20}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{20}{2} + \frac{- 5 x}{2}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Divide $20$ por $2$ .

$y = 10 + \frac{- 5 x}{2}$

Paso 1.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 10 - \frac{5 x}{2}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $10$ y $- \frac{5 x}{2}$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 10$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{5}{2} x) + 10$

Paso 1.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{2} x + 10$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{5}{2}$ .

$m_{1} = - \frac{5}{2}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = 8 - x$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 y = 8 - x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 y = 8 - x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- x}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- x}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{8}{2} + \frac{- x}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide $8$ por $2$ .

$y = 4 + \frac{- x}{2}$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 4 - \frac{x}{2}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $4$ y $- \frac{x}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + 4$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 4$

Paso 3.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} x + 4$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{1}{2}$ .

$m_{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$5 x + 2 y = 20, x + 2 y = 8$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 8 - 2 y$

$5 x + 2 y = 20$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $8 - 2 y$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $5 x + 2 y = 20$ por $8 - 2 y$ .

$5 (8 - 2 y) + 2 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $5 (8 - 2 y) + 2 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 8 + 5 (- 2 y) + 2 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $8$ .

$40 + 5 (- 2 y) + 2 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$40 - 10 y + 2 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

$40 - 10 y + 2 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.2.2.1.2

Suma $- 10 y$ y $2 y$ .

$40 - 8 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

$40 - 8 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

$40 - 8 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

$40 - 8 y = 20$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $40 - 8 y = 20$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $40$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y = 20 - 40$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.1.2

Resta $40$ de $20$ .

$- 8 y = - 20$

$x = 8 - 2 y$

$- 8 y = - 20$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $- 8 y = - 20$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $- 8 y = - 20$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 20}{- 8}$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{- 20}{- 8}$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 20}{- 8}$

$x = 8 - 2 y$

$y = \frac{- 20}{- 8}$

$x = 8 - 2 y$

$y = \frac{- 20}{- 8}$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 20$ y $- 8$ .

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Paso 6.3.2.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 20$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 5}{- 8}$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 8$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 2}$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 2}$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 2 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 2 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 2 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 2 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 2 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 2 y$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{5}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 8 - 2 y$ por $\frac{5}{2}$ .

$x = 8 - 2 (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $8 - 2 (\frac{5}{2})$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = 8 + 2 (- 1) (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = 8 + 2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 8 - 1 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 1 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x = 8 - 5$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 8 - 5$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6.4.2.1.2

Resta $5$ de $8$ .

$x = 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{5}{2}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(3, \frac{5}{2})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - \frac{5}{2}$

$m_{2} = - \frac{1}{2}$

$(3, \frac{5}{2})$

Paso 8