Matemática discreta Ejemplos

$4 y = 3 x + 16$ , $- 4 y = 3 x - 12$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 y = 3 x + 16$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 y = 3 x + 16$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Divide $16$ por $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 1.3

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{4} x + 4$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{3}{4}$ .

$m_{1} = \frac{3}{4}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 4 y = 3 x - 12$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 4 y = 3 x - 12$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{3 x}{- 4} + \frac{- 12}{- 4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{3 x}{- 4} + \frac{- 12}{- 4}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 x}{- 4} + \frac{- 12}{- 4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 12}{- 4}$

Paso 3.2.3.1.2

Divide $- 12$ por $- 4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 3$

Paso 3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{4} x) + 3$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{4} x + 3$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{3}{4}$ .

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$4 y = 3 x + 16, - 4 y = 3 x - 12$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Divide cada término en $4 y = 3 x + 16$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.1.1

Divide cada término en $4 y = 3 x + 16$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

Paso 6.1.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{16}{4}$

$- 4 y = 3 x - 12$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.1

Divide $16$ por $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 4 y = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 4 y = 3 x - 12$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{3 x}{4} + 4$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $- 4 y = 3 x - 12$ por $\frac{3 x}{4} + 4$ .

$- 4 (\frac{3 x}{4} + 4) = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $- 4 (\frac{3 x}{4} + 4)$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \frac{3 x}{4} - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) (\frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot (- 1 \frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 (3 x) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 1 (3 x) - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x - 4 \cdot 4 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.2.2.1.3.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 3 x - 16 = 3 x - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3

Resuelve $x$ en $- 3 x - 16 = 3 x - 12$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x - 16 - 3 x = - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.1.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$- 6 x - 16 = - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 6 x - 16 = - 12$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 x = - 12 + 16$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.2.2

Suma $- 12$ y $16$ .

$- 6 x = 4$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$- 6 x = 4$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $- 6 x = 4$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $- 6 x = 4$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{4}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $- 6$ .

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Paso 6.3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{- 6}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{- 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{2}{- 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = \frac{2}{- 3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{2}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \frac{3 x}{4} + 4$ por $- \frac{2}{3}$ .

$y = \frac{3 (- \frac{2}{3})}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $\frac{3 (- \frac{2}{3})}{4} + 4$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{- 3 (\frac{2}{3})}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{3}}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{3}}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{- 6}{3}}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.3

Divide $- 6$ por $3$ .

$y = \frac{- 2}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 6.4.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1)}{4} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{- 1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{- 1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = - \frac{1}{2} + 4$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 1 + 4 \cdot 2}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{- 1 + 8}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.4.2.1.5.2

Suma $- 1$ y $8$ .

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{2}{3}, \frac{7}{2})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{3}{4}$

$(- \frac{2}{3}, \frac{7}{2})$

Paso 8