Matemática discreta Ejemplos

$4 x + 5 y = 8$ , $5 x - 4 y = 2$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y = 8 - 4 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $5 y = 8 - 4 x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $5 y = 8 - 4 x$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 4 x}{5}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{8}{5} - \frac{4 x}{5}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $\frac{8}{5}$ y $- \frac{4 x}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{8}{5}$

Paso 1.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{8}{5}$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{4}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y = 2 - 5 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $- 4 y = 2 - 5 x$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 4 y = 2 - 5 x$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 4$ .

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Paso 3.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{- 4} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{- 2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{- 5 x}{- 4}$

Paso 3.3.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{5 x}{4}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $- \frac{1}{2}$ y $\frac{5 x}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{5}{4} x - \frac{1}{2}$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{5}{4}$ .

$m_{2} = \frac{5}{4}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$4 x + 5 y = 8, 5 x - 4 y = 2$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resuelve $x$ en $4 x + 5 y = 8$ .

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Paso 6.1.1

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = 8 - 5 y$

$5 x - 4 y = 2$

Paso 6.1.2

Divide cada término en $4 x = 8 - 5 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Divide cada término en $4 x = 8 - 5 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Paso 6.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = \frac{8}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Paso 6.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.3.1.1

Divide $8$ por $4$ .

$x = 2 + \frac{- 5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Paso 6.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$5 x - 4 y = 2$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2 - \frac{5 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $5 x - 4 y = 2$ por $2 - \frac{5 y}{4}$ .

$5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $5 (2 - \frac{5 y}{4}) - 4 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 2 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 + 5 (- \frac{5 y}{4}) - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $5 (- \frac{5 y}{4})$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$10 - 5 \frac{5 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Combina $- 5$ y $\frac{5 y}{4}$ .

$10 + \frac{- 5 (5 y)}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.2

Para escribir $- 4 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} - 4 y \cdot \frac{4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Combina $- 4 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$10 - \frac{25 y}{4} + \frac{- 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{- 25 y - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $- 25 y - 4 y \cdot 4$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $- 25 y$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 - 4 y \cdot 4}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $- 4 y \cdot 4$ .

$10 + \frac{y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot - 25 + y (- 4 \cdot 4)$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y (- 25 - 4 \cdot 4)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$10 + \frac{y (- 25 - 16)}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.4.1.3

Resta $16$ de $- 25$ .

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 + \frac{y \cdot - 41}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Mueve $- 41$ a la izquierda de $y$ .

$10 + \frac{- 41 \cdot y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.2.2.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$10 - \frac{41 y}{4} = 2$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $10 - \frac{41 y}{4} = 2$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{41 y}{4} = 2 - 10$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.1.2

Resta $10$ de $2$ .

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{41 y}{4} = - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{4}{41}$ .

$- \frac{4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.1.1

Simplifica $- \frac{4}{41} (- \frac{41 y}{4})$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{41}$ al numerador.

$\frac{- 4}{41} \cdot (- \frac{41 y}{4}) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{41 y}{4}$ al numerador.

$\frac{- 4}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{41} \cdot \frac{- 41 y}{4} = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{41} \cdot (- 41 y) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $41$ .

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Paso 6.3.3.1.1.2.1

Factoriza $41$ de $- 41 y$ .

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{41} \cdot (41 (- y)) = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 6.3.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{41} \cdot - 8$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.1

Multiplica $- \frac{4}{41} \cdot - 8$ .

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Paso 6.3.3.2.1.1

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$y = 8 (\frac{4}{41})$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Combina $8$ y $\frac{4}{41}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.3.3.2.1.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{5 y}{4}$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{32}{41}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 2 - \frac{5 y}{4}$ por $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $2 - \frac{5 (\frac{32}{41})}{4}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Combina $5$ y $\frac{32}{41}$ .

$x = 2 - \frac{\frac{5 \cdot 32}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $32$ .

$x = 2 - \frac{\frac{160}{41}}{4}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = 2 - (\frac{160}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.2.1.1.4.1

Factoriza $4$ de $160$ .

$x = 2 - (\frac{4 (40)}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$x = 2 - (\frac{4 \cdot 40}{41} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = 2 - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{41}{41}$ .

$x = 2 \cdot \frac{41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{41}{41}$ .

$x = \frac{2 \cdot 41}{41} - \frac{40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 \cdot 41 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $41$ .

$x = \frac{82 - 40}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.4.2.1.5.2

Resta $40$ de $82$ .

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

$x = \frac{42}{41}$

$y = \frac{32}{41}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - \frac{4}{5}$

$m_{2} = \frac{5}{4}$

$(\frac{42}{41}, \frac{32}{41})$

Paso 8