Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{15} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Expande $(\sqrt{15} - 3) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 3 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{15} \sqrt{5} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $15$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15} \sqrt{3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{15 \cdot 3} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $15$ por $3$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{45} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.7

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{9 (5)} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2} \cdot 5} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.2

Resta $3 \sqrt{3}$ de $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.2.3

Resta $3 \sqrt{5}$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 0}{2}$

Paso 3.2.4

Suma $2 \sqrt{3}$ y $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{3}$

Forma decimal:

$1.73205080 \dots$