Matemática discreta Ejemplos

${(\sqrt{5} p - 2 r^{4})}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${(\sqrt{5} p)}^{3} + 3 {(\sqrt{5} p)}^{2} (- 2 r^{4}) + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{5} p$ .

${\sqrt{5}}^{3} p^{3} + 3 {(\sqrt{5} p)}^{2} (- 2 r^{4}) + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$\sqrt{5^{3}} p^{3} + 3 {(\sqrt{5} p)}^{2} (- 2 r^{4}) + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{125} p^{3} + 3 {(\sqrt{5} p)}^{2} (- 2 r^{4}) + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.4

Reescribe $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$\sqrt{25 (5)} p^{3} + 3 {(\sqrt{5} p)}^{2} (- 2 r^{4}) + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2} \cdot 5} p^{3} + 3 {(\sqrt{5} p)}^{2} (- 2 r^{4}) + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$5 \sqrt{5} p^{3} + 3 {(\sqrt{5} p)}^{2} (- 2 r^{4}) + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 \sqrt{5} p^{3} + 3 \cdot - 2 {(\sqrt{5} p)}^{2} r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 {(\sqrt{5} p)}^{2} r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.8

Aplica la regla del producto a $\sqrt{5} p$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 ({\sqrt{5}}^{2} p^{2}) r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.9

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} p^{2}) r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} p^{2}) r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 (5^{\frac{2}{2}} p^{2}) r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 (5^{\frac{2}{2}} p^{2}) r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 (5^{1} p^{2}) r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.9.5

Evalúa el exponente.

$5 \sqrt{5} p^{3} - 6 (5 p^{2}) r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.10

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 3 (\sqrt{5} p) {(- 2 r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.11

Aplica la regla del producto a $- 2 r^{4}$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 3 \sqrt{5} p ({(- 2)}^{2} {(r^{4})}^{2}) + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 3 \sqrt{5} \cdot {(- 2)}^{2} p {(r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.13

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 3 \sqrt{5} \cdot 4 p {(r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.14

Multiplica $4$ por $3$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 12 \sqrt{5} p {(r^{4})}^{2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.15

Multiplica los exponentes en ${(r^{4})}^{2}$ .

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Paso 2.15.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 12 \sqrt{5} p r^{4 \cdot 2} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.15.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 12 \sqrt{5} p r^{8} + {(- 2 r^{4})}^{3}$

Paso 2.16

Aplica la regla del producto a $- 2 r^{4}$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 12 \sqrt{5} p r^{8} + {(- 2)}^{3} {(r^{4})}^{3}$

Paso 2.17

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 12 \sqrt{5} p r^{8} - 8 {(r^{4})}^{3}$

Paso 2.18

Multiplica los exponentes en ${(r^{4})}^{3}$ .

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Paso 2.18.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 12 \sqrt{5} p r^{8} - 8 r^{4 \cdot 3}$

Paso 2.18.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$5 \sqrt{5} p^{3} - 30 p^{2} r^{4} + 12 \sqrt{5} p r^{8} - 8 r^{12}$