Matemática discreta Ejemplos

${(- \sqrt{3} + i)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \sqrt{3^{3}} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \sqrt{27} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.5

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$- \sqrt{9 (3)} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$- (3 \sqrt{3}) + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.8

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 (1 {\sqrt{3}}^{2}) i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.10

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.11

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.11.5

Evalúa el exponente.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.13

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} i^{2} + i^{3}$

Paso 2.1.14

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} \cdot - 1 + i^{3}$

Paso 2.1.15

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} + i^{3}$

Paso 2.1.16

Factoriza $i^{2}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} + i^{2} \cdot i$

Paso 2.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} - 1 \cdot i$

Paso 2.1.18

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} - i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Suma $- 3 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$0 + 9 i - i$

Paso 2.2.2

Suma $0$ y $9 i$ .

$9 i - i$

Paso 2.2.3

Resta $i$ de $9 i$ .

$8 i$