Matemática discreta Ejemplos

$2 x - 3 y = 4$ , $3 x - 5 y = 2$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = 4 - 2 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $- 3 y = 4 - 2 x$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $- 3 y = 4 - 2 x$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Paso 1.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{2 x}{3}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $- \frac{4}{3}$ y $\frac{2 x}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{2}{3}$ .

$m_{1} = \frac{2}{3}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 y = 2 - 3 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $- 5 y = 2 - 3 x$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 5 y = 2 - 3 x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Paso 3.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{3 x}{5}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $- \frac{2}{5}$ y $\frac{3 x}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2}{5}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{3}{5}$ .

$m_{2} = \frac{3}{5}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$2 x - 3 y = 4, 3 x - 5 y = 2$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resuelve $x$ en $2 x - 3 y = 4$ .

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Paso 6.1.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 4 + 3 y$

$3 x - 5 y = 2$

Paso 6.1.2

Divide cada término en $2 x = 4 + 3 y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Divide cada término en $2 x = 4 + 3 y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Paso 6.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Paso 6.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.2.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2 + \frac{3 y}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 5 y = 2$ por $2 + \frac{3 y}{2}$ .

$3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 2 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $3 \frac{3 y}{2}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Combina $3$ y $\frac{3 y}{2}$ .

$6 + \frac{3 (3 y)}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.2

Para escribir $- 5 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Combina $- 5 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $9 y - 5 y \cdot 2$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $9 y$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $- 5 y \cdot 2$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)$ .

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$6 + \frac{y (9 - 10)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.4.1.3

Resta $10$ de $9$ .

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$6 + \frac{- 1 \cdot y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $6 - \frac{y}{2} = 2$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y}{2} = 2 - 6$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.1.2

Resta $6$ de $2$ .

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.3.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot (- 1 \frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 6.3.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.3.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $8$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 2 + \frac{3 y}{2}$ por $8$ .

$x = 2 + \frac{3 (8)}{2}$

$y = 8$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $2 + \frac{3 (8)}{2}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$x = 2 + \frac{24}{2}$

$y = 8$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $24$ por $2$ .

$x = 2 + 12$

$y = 8$

Paso 6.4.2.1.3

Suma $2$ y $12$ .

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(14, 8)$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = \frac{2}{3}$

$m_{2} = \frac{3}{5}$

$(14, 8)$

Paso 8