Matemática discreta Ejemplos

$2 x + 5 y = 10$ , $x - 3 y = 3$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y = 10 - 2 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $5 y = 10 - 2 x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $5 y = 10 - 2 x$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Divide $10$ por $5$ .

$y = 2 + \frac{- 2 x}{5}$

Paso 1.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 2 - \frac{2 x}{5}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $2$ y $- \frac{2 x}{5}$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 2$

Paso 1.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{5} x + 2$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{2}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = 3 - x$

Paso 3.3

Divide cada término en $- 3 y = 3 - x$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 3 y = 3 - x$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide $3$ por $- 3$ .

$y = - 1 + \frac{- x}{- 3}$

Paso 3.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - 1 + \frac{x}{3}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $- 1$ y $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 1$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} x - 1$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{1}{3}$ .

$m_{2} = \frac{1}{3}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$2 x + 5 y = 10, x - 3 y = 3$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3 + 3 y$

$2 x + 5 y = 10$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3 + 3 y$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + 5 y = 10$ por $3 + 3 y$ .

$2 (3 + 3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $2 (3 + 3 y) + 5 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 3 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.2.2.1.2

Suma $6 y$ y $5 y$ .

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $6 + 11 y = 10$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$11 y = 10 - 6$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.3.1.2

Resta $6$ de $10$ .

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.3.2

Divide cada término en $11 y = 4$ por $11$ y simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Divide cada término en $11 y = 4$ por $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{4}{11}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 3 + 3 y$ por $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + 3 (\frac{4}{11})$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $3 + 3 (\frac{4}{11})$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Multiplica $3 (\frac{4}{11})$ .

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Paso 6.4.2.1.1.1

Combina $3$ y $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + \frac{3 \cdot 4}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.4.2.1.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{11}{11}$ .

$x = 3 \cdot \frac{11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.4.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 \cdot 11 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.5.1

Multiplica $3$ por $11$ .

$x = \frac{33 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.4.2.1.5.2

Suma $33$ y $12$ .

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

$m_{2} = \frac{1}{3}$

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Paso 8