Matemática discreta Ejemplos

$3 x + 4 y = 2$ , $4 x + 3 y = 4$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y = 2 - 3 x$

Paso 1.3

Divide cada término en $4 y = 2 - 3 x$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $4 y = 2 - 3 x$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 1.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 1.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 3 x}{4}$

Paso 1.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Paso 1.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.4.1

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2}$

Paso 1.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{3}{4}$ .

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

Paso 3

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = 4 - 4 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $3 y = 4 - 4 x$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $3 y = 4 - 4 x$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{4}{3} - \frac{4 x}{3}$

Paso 3.4

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $\frac{4}{3}$ y $- \frac{4 x}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{4}{3}$

Paso 3.4.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$

Paso 4

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{4}{3}$ .

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$3 x + 4 y = 2, 4 x + 3 y = 4$

Paso 6

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 6.1

Resuelve $x$ en $3 x + 4 y = 2$ .

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Paso 6.1.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2 - 4 y$

$4 x + 3 y = 4$

Paso 6.1.2

Divide cada término en $3 x = 2 - 4 y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Divide cada término en $3 x = 2 - 4 y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Paso 6.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Paso 6.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Paso 6.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Paso 6.2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $4 x + 3 y = 4$ por $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\frac{2}{3}) + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $4 (\frac{2}{3})$ .

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Combina $4$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Multiplica $4 (- \frac{4 y}{3})$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{8}{3} - 4 \frac{4 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Combina $- 4$ y $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 (4 y)}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.2

Para escribir $3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.3

Combina $3 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{8 - 16 y + 9 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.2.2.1.7

Suma $- 16 y$ y $9 y$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3

Resuelve $y$ en $\frac{8 - 7 y}{3} = 4$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Reordena $8$ y $- 7 y$ .

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.3

Resuelve $y$

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Paso 6.3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.3.1.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 y = 12 - 8$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.3.1.2

Resta $8$ de $12$ .

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $- 7 y = 4$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $- 7 y = 4$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Paso 6.4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{4}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 6.4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ por $- \frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 - 4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $- 4 (- \frac{4}{7})$ .

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Paso 6.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 + 4 (\frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.2.2

Combina $4$ y $\frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2 + \frac{4 \cdot 4}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.2.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{2 \cdot \frac{7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.4

Combina $2$ y $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.6.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$x = \frac{\frac{14 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.6.2

Suma $14$ y $16$ .

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{30}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.8.1

Factoriza $3$ de $30$ .

$x = \frac{3 (10)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 10}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

Paso 6.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Paso 7

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Paso 8