Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{12}{5} x^{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 1

Identifica el grado de la función.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{12}{5} x^{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 1.1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - \frac{12}{5} x^{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 1.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 \cdot x^{2}}{2} - \frac{12}{5} x^{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 1.1.4

Combina $x^{5}$ y $\frac{12}{5}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{x^{5} \cdot 12}{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 1.1.5

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{12 x^{5}}{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 1.2

Identifica los exponentes de las variables en cada término y súmalos para obtener el grado de cada término.

$\frac{x^{3}}{3} \to 3$

$- \frac{5 x^{2}}{2} \to 2$

$- \frac{12 x^{5}}{5} \to 5$

$- 3 x^{4} \to 4$

$5 \to 0$

Paso 1.3

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$5$

Paso 2

Como el grado es impar, los extremos de la función apuntarán hacia direcciones opuestas.

Impar

Paso 3

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 3.1

Simplifica el polinomio, luego reordénalo de izquierda a derecha, comienza por el término de mayor grado.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{12}{5} x^{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 3.1.1.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - \frac{12}{5} x^{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 3.1.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 \cdot x^{2}}{2} - \frac{12}{5} x^{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 3.1.1.4

Combina $x^{5}$ y $\frac{12}{5}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{x^{5} \cdot 12}{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 3.1.1.5

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{12 x^{5}}{5} - 3 x^{4} + 5$

Paso 3.1.2

Reordena.

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Paso 3.1.2.1

Mueve $- \frac{5 x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{12 x^{5}}{5} - 3 x^{4} - \frac{5 x^{2}}{2} + 5$

Paso 3.1.2.2

Mueve $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} - 3 x^{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 5$

Paso 3.2

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$- \frac{12 x^{5}}{5}$

Paso 3.3

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$- \frac{12}{5}$

Paso 4

Como el coeficiente principal es negativo, la gráfica cae a la derecha.

Negativo

Paso 5

Usa el grado de la función, además del signo del coeficiente principal, para determinar el comportamiento.

1. Par y positivo: se eleva a la izquierda y se eleva a la derecha.

2. Par y negativo: cae a la izquierda y cae a la derecha.

3. Impar y positivo: cae a la izquierda y se eleva a la derecha.

4. Impar y negativo: se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

Paso 6

Determina el comportamiento.

Se eleva a la izquierda y cae a la derecha

Paso 7