Matemática discreta Ejemplos

$\frac{{(2 i)}^{2}}{4 - (2 i)}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{{(2 i)}^{2}}{4 - 2 i}$ por el conjugado de $4 - 2 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{{(2 i)}^{2}}{4 - 2 i} \cdot \frac{4 + 2 i}{4 + 2 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{{(2 i)}^{2} (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $2 i$ .

$\frac{2^{2} i^{2} (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 i^{2} (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.2.3

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 \cdot 4 - 4 (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.2.6

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{- 16 - 4 (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(4 - 2 i) (4 + 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 - 8 i}{4 (4 + 2 i) - 2 i (4 + 2 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 - 8 i}{4 \cdot 4 + 4 (2 i) - 2 i (4 + 2 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 16 - 8 i}{4 \cdot 4 + 4 (2 i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 4 (2 i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 8 i - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 8 i - 8 i - 2 i (2 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Resta $8 i$ de $8 i$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 0 - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $16$ y $0$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 - 4 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{16 + 4}$

Paso 2.3.4

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{- 16 - 8 i}{20}$

Paso 3

Cancela el factor común de $- 16 - 8 i$ y $20$ .

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Paso 3.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{4 (- 4) - 8 i}{20}$

Paso 3.2

Factoriza $4$ de $- 8 i$ .

$\frac{4 (- 4) + 4 (- 2 i)}{20}$

Paso 3.3

Factoriza $4$ de $4 (- 4) + 4 (- 2 i)$ .

$\frac{4 (- 4 - 2 i)}{20}$

Paso 3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{4 (- 4 - 2 i)}{4 \cdot 5}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (- 4 - 2 i)}{4 \cdot 5}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 - 2 i}{5}$

Paso 4

Divide la fracción $\frac{- 4 - 2 i}{5}$ en dos fracciones.

$\frac{- 4}{5} + \frac{- 2 i}{5}$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{5} + \frac{- 2 i}{5}$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{5} - \frac{2 i}{5}$