Matemática discreta Ejemplos

$(6, 7)$ , $- 8 x - 5 y = - 83$

Paso 1

Resuelve $- 8 x - 5 y = - 83$ .

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Paso 1.1

Suma $8 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 5 y = - 83 + 8 x$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 5 y = - 83 + 8 x$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 5 y = - 83 + 8 x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 83}{- 5} + \frac{8 x}{- 5}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 83}{- 5} + \frac{8 x}{- 5}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 83}{- 5} + \frac{8 x}{- 5}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{83}{5} + \frac{8 x}{- 5}$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{83}{5} - \frac{8 x}{5}$

Paso 2

Obtén la pendiente cuando $y = \frac{83}{5} - \frac{8 x}{5}$ .

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Paso 2.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 2.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.1.2

Reordena $\frac{83}{5}$ y $- \frac{8 x}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{83}{5}$

Paso 2.1.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.1.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{8}{5} x) + \frac{83}{5}$

Paso 2.1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{8}{5} x + \frac{83}{5}$

Paso 2.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{8}{5}$ .

$m = - \frac{8}{5}$

Paso 3

La ecuación de una perpendicular debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{- \frac{8}{5}}$

Paso 4

Simplifica $- \frac{1}{- \frac{8}{5}}$ para obtener la pendiente de la perpendicular.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$m_{perpendicular} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{8}{5}}$

Paso 4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{8}{5}}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{5}{8})$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{5}{8}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = \frac{5}{8}$

Paso 4.4

Multiplica $- - \frac{5}{8}$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{5}{8})$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{5}{8}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = \frac{5}{8}$

Paso 5

Obtén la ecuación de la línea perpendicular con la fórmula de punto-pendiente.

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Paso 5.1

Usa la pendiente $\frac{5}{8}$ y un punto dado $(6, 7)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{5}{8} \cdot (x - (6))$

Paso 5.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 7 = \frac{5}{8} \cdot (x - 6)$

Paso 6

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 6.1

Resuelve $y$

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Paso 6.1.1

Simplifica $\frac{5}{8} \cdot (x - 6)$ .

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Paso 6.1.1.1

Reescribe.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{5}{8} \cdot (x - 6)$

Paso 6.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 7 = \frac{5}{8} \cdot (x - 6)$

Paso 6.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 7 = \frac{5}{8} x + \frac{5}{8} \cdot - 6$

Paso 6.1.1.4

Combina $\frac{5}{8}$ y $x$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{8} + \frac{5}{8} \cdot - 6$

Paso 6.1.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{8} + \frac{5}{2 (4)} \cdot - 6$

Paso 6.1.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{8} + \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3)$

Paso 6.1.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 7 = \frac{5 x}{8} + \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3)$

Paso 6.1.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 7 = \frac{5 x}{8} + \frac{5}{4} \cdot - 3$

Paso 6.1.1.6

Combina $\frac{5}{4}$ y $- 3$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{8} + \frac{5 \cdot - 3}{4}$

Paso 6.1.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1.7.1

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{8} + \frac{- 15}{4}$

Paso 6.1.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 7 = \frac{5 x}{8} - \frac{15}{4}$

Paso 6.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{5 x}{8} - \frac{15}{4} + 7$

Paso 6.1.2.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{8} - \frac{15}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.1.2.3

Combina $7$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{8} - \frac{15}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Paso 6.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 x}{8} + \frac{- 15 + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 6.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.2.5.1

Multiplica $7$ por $4$ .

$y = \frac{5 x}{8} + \frac{- 15 + 28}{4}$

Paso 6.1.2.5.2

Suma $- 15$ y $28$ .

$y = \frac{5 x}{8} + \frac{13}{4}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$y = \frac{5}{8} x + \frac{13}{4}$

Paso 7