Matemática discreta Ejemplos

(- a + 1, b - 1)

$(- a + 1, b - 1)$ ,

$(a + 1, - b)$

Paso 1

Obtén la pendiente de la línea entre

$(- a + 1, b - 1)$ y

$(a + 1, - b)$ con

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , que es el cambio de

$y$ sobre el cambio de

$x$ .

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Paso 1.1

La pendiente es igual al cambio en

$y$ sobre el cambio en

$x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 1.2

El cambio en

$x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en

$y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 1.3

Sustituye los valores de

$x$ y

$y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{- b - (b - 1)}{a + 1 - (- a + 1)}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$m = \frac{- b - b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$m = \frac{- b - b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Paso 1.4.1.3

Resta

$b$ de

$- b$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 - (- a + 1)}$

Paso 1.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.2

Multiplica

$- - a$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + 1 a - 1 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.2.2

Multiplica

$a$ por

$1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.3

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{a + 1 + a - 1}$

Paso 1.4.2.4

Suma

$a$ y

$a$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a + 1 - 1}$

Paso 1.4.2.5

Resta

$1$ de

$1$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a + 0}$

Paso 1.4.2.6

Suma

$2 a$ y

$0$ .

$m = \frac{- 2 b + 1}{2 a}$

Paso 1.4.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.4.3.1

Factoriza

$- 1$ de

$- 2 b$ .

$m = \frac{- (2 b) + 1}{2 a}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe

$1$ como

$- 1 (- 1)$ .

$m = \frac{- (2 b) - 1 \cdot - 1}{2 a}$

Paso 1.4.3.3

Factoriza

$- 1$ de

$- (2 b) - 1 (- 1)$ .

$m = \frac{- (2 b - 1)}{2 a}$

Paso 1.4.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.3.4.1

Reescribe

$- (2 b - 1)$ como

$- 1 (2 b - 1)$ .

$m = \frac{- 1 (2 b - 1)}{2 a}$

Paso 1.4.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m = - \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 2

Usa la pendiente

$- \frac{2 b - 1}{2 a}$ y un punto dado

$(- a + 1, b - 1)$ para sustituir

$x_{1}$ y

$y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (b - 1) = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x - (- a + 1))$

Paso 3

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Paso 4

Resuelve

$y$

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Paso 4.1

Simplifica

$- \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$y - b + 1 = 0 + 0 - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Paso 4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} x - \frac{2 b - 1}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Combina

$x$ y

$\frac{2 b - 1}{2 a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común de

$a$ .

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Paso 4.1.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en

$- \frac{2 b - 1}{2 a}$ al numerador.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2 a} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Paso 4.1.4.2.2

Factoriza

$a$ de

$2 a$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{a \cdot 2} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Paso 4.1.4.2.3

Cancela el factor común.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{a \cdot 2} a - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Paso 4.1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$

Paso 4.1.4.3

Multiplica

$- \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.4.3.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} + 1 \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.4.3.2

Multiplica

$\frac{2 b - 1}{2 a}$ por

$1$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- (2 b - 1)}{2} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.6

Para escribir

$- \frac{2 b - 1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{a}{a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{2 b - 1}{2} \cdot \frac{a}{a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.7

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica

$\frac{2 b - 1}{2}$ por

$\frac{a}{a}$ .

$y - b + 1 = - \frac{x (2 b - 1)}{2 a} - \frac{(2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y - b + 1 = \frac{- x (2 b - 1) - (2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.8.1

Factoriza

$2 b - 1$ de

$- x (2 b - 1) - (2 b - 1) a$ .

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Paso 4.1.8.1.1

Factoriza

$2 b - 1$ de

$- x (2 b - 1)$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x) - (2 b - 1) a}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.8.1.2

Factoriza

$2 b - 1$ de

$- (2 b - 1) a$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x) + (2 b - 1) (- 1 a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.8.1.3

Factoriza

$2 b - 1$ de

$(2 b - 1) (- x) + (2 b - 1) (- 1 a)$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - 1 a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.8.2

Reescribe

$- 1 a$ como

$- a$ .

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - a)}{2 a} + \frac{2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y - b + 1 = \frac{(2 b - 1) (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.10.1

Expande

$(2 b - 1) (- x - a)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.10.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x - a) - 1 (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x) + 2 b (- a) - 1 (- x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - b + 1 = \frac{2 b (- x) + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.10.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y - b + 1 = \frac{2 \cdot - 1 b x + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2.2

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x + 2 b (- a) - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x + 2 \cdot - 1 b a - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2.4

Multiplica

$2$ por

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a - 1 (- x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2.5

Multiplica

$- 1 (- x)$ .

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Paso 4.1.10.2.5.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + 1 x - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2.5.2

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2.6

Multiplica

$- 1 (- a)$ .

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Paso 4.1.10.2.6.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x + 1 a + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.10.2.6.2

Multiplica

$a$ por

$1$ .

$y - b + 1 = \frac{- 2 b x - 2 b a + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1.11.1

Factoriza

$- 1$ de

$- 2 b x$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x) - 2 b a + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.2

Factoriza

$- 1$ de

$- 2 b a$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x) - (2 b a) + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.3

Factoriza

$- 1$ de

$- (2 b x) - (2 b a)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a) + x + a + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.4

Factoriza

$- 1$ de

$x$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a) - 1 (- x) + a + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.5

Factoriza

$- 1$ de

$- (2 b x + 2 b a) - 1 (- x)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x) + a + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.6

Factoriza

$- 1$ de

$a$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x) - 1 (- a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.7

Factoriza

$- 1$ de

$- (2 b x + 2 b a - x) - 1 (- a)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a) + 2 b - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.8

Factoriza

$- 1$ de

$2 b$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a) - (- 2 b) - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.9

Factoriza

$- 1$ de

$- (2 b x + 2 b a - x - a) - (- 2 b)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1}{2 a}$

Paso 4.1.11.10

Reescribe

$- 1$ como

$- 1 (1)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1 (1)}{2 a}$

Paso 4.1.11.11

Factoriza

$- 1$ de

$- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b) - 1 (1)$ .

$y - b + 1 = \frac{- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)}{2 a}$

Paso 4.1.11.12

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.11.12.1

Reescribe

$- (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)$ como

$- 1 (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)$ .

$y - b + 1 = \frac{- 1 (2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1)}{2 a}$

Paso 4.1.11.12.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - b + 1 = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a}$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan

$y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Suma

$b$ a ambos lados de la ecuación.

$y + 1 = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a} + b$

Paso 4.2.2

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a} + b - 1$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Divide la fracción

$\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b + 1}{2 a}$ en dos fracciones.

$y = - (\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.2.1

Divide la fracción

$\frac{2 b x + 2 b a - x - a - 2 b}{2 a}$ en dos fracciones.

$y = - (\frac{2 b x + 2 b a - x - a}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.2.2.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.3.2.2.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = - (\frac{(2 b x + 2 b a) - x - a}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = - (\frac{2 b (x + a) - (x + a)}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

$x + a$ .

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- 2 b}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2.2

Cancela el factor común de

$- 2$ y

$2$ .

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Paso 4.2.3.2.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$- 2 b$ .

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.2.2.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$2 a$ .

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 (a)} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{2 (- b)}{2 a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{- b}{a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - (\frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} - \frac{b}{a} + \frac{1}{2 a}) + b - 1$

Paso 4.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} - - \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Paso 4.2.3.4

Multiplica

$- - \frac{b}{a}$ .

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Paso 4.2.3.4.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + 1 \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Paso 4.2.3.4.2

Multiplica

$\frac{b}{a}$ por

$1$ .

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Paso 5

Enumera la ecuación en formas diferentes.

Ecuación explícita:

$y = - \frac{(x + a) (2 b - 1)}{2 a} + \frac{b}{a} - \frac{1}{2 a} + b - 1$

Ecuación punto-pendiente:

$y - b + 1 = - \frac{2 b - 1}{2 a} \cdot (x + a - 1)$

Paso 6