Matemática discreta Ejemplos

$\log (\sqrt[5]{\frac{x^{4}}{y^{5} z^{2}}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{\frac{x^{4}}{y^{5} z^{2}}}$ como ${(\frac{x^{4}}{y^{5} z^{2}})}^{\frac{1}{5}}$ .

$\log ({(\frac{x^{4}}{y^{5} z^{2}})}^{\frac{1}{5}})$

Paso 2

Expande $\log ({(\frac{x^{4}}{y^{5} z^{2}})}^{\frac{1}{5}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{5}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} \log (\frac{x^{4}}{y^{5} z^{2}})$

Paso 3

Reescribe $\log (\frac{x^{4}}{y^{5} z^{2}})$ como $\log (x^{4}) - \log (y^{5} z^{2})$ .

$\frac{1}{5} (\log (x^{4}) - \log (y^{5} z^{2}))$

Paso 4

Expande $\log (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} (4 \log (x) - \log (y^{5} z^{2}))$

Paso 5

Reescribe $\log (y^{5} z^{2})$ como $\log (y^{5}) + \log (z^{2})$ .

$\frac{1}{5} (4 \log (x) - (\log (y^{5}) + \log (z^{2})))$

Paso 6

Expande $\log (y^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} (4 \log (x) - (5 \log (y) + \log (z^{2})))$

Paso 7

Expande $\log (z^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{5} (4 \log (x) - (5 \log (y) + 2 \log (z)))$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} (4 \log (x) - (5 \log (y)) - (2 \log (z)))$

Paso 8.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (4 \log (x) - 5 \log (y) - (2 \log (z)))$

Paso 8.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (4 \log (x) - 5 \log (y) - 2 \log (z))$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} (4 \log (x)) + \frac{1}{5} (- 5 \log (y)) + \frac{1}{5} (- 2 \log (z))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{5} (4 \log (x))$ .

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Paso 10.1.1

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} \log (x) + \frac{1}{5} (- 5 \log (y)) + \frac{1}{5} (- 2 \log (z))$

Paso 10.1.2

Combina $\frac{4}{5}$ y $\log (x)$ .

$\frac{4 \log (x)}{5} + \frac{1}{5} (- 5 \log (y)) + \frac{1}{5} (- 2 \log (z))$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $5$ de $- 5 \log (y)$ .

$\frac{4 \log (x)}{5} + \frac{1}{5} (5 (- \log (y))) + \frac{1}{5} (- 2 \log (z))$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \log (x)}{5} + \frac{1}{5} (5 (- \log (y))) + \frac{1}{5} (- 2 \log (z))$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \log (x)}{5} - \log (y) + \frac{1}{5} (- 2 \log (z))$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{5} (- 2 \log (z))$ .

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Paso 10.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4 \log (x)}{5} - \log (y) + \frac{- 2}{5} \log (z)$

Paso 10.3.2

Combina $\frac{- 2}{5}$ y $\log (z)$ .

$\frac{4 \log (x)}{5} - \log (y) + \frac{- 2 \log (z)}{5}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 \log (x)}{5} - \log (y) - \frac{2 \log (z)}{5}$