Matemática discreta Ejemplos

$f (n) = 2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4$ , $h (t) = \frac{t + 4}{t - 2}$ , $((h \circ f)) (0)$

Paso 1

Establece la función de resultado compuesta.

$h (f (n))$

Paso 2

Evalúa $h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $h$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Paso 3

Cancela el factor común de $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4$ y $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $4$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 - 2}$

Paso 3.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) - 2}$

Paso 3.6.3

Factoriza $2$ de $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) - 2}$

Paso 3.6.4

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)}$

Paso 3.6.5

Factoriza $2$ de $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

Paso 3.6.6

Cancela el factor común.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

Paso 3.6.7

Reescribe la expresión.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Paso 4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Paso 4.3

Suma $2$ y $2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Paso 4.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4 \cdot \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Paso 4.5

Combina $4$ y $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

Paso 5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

Paso 5.3

Resta $1$ de $2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 1}$

Paso 5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1 + 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Paso 7

Cancela el factor común de $3^{n - 1}$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = (1 + 4 \cdot 3^{n - 1}) (\frac{1}{1 + 3^{n - 1}})$

Paso 8

Multiplica $1 + 4 \cdot 3^{n - 1}$ por $\frac{1}{1 + 3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Paso 9

Evalúa la función de resultado mediante el reemplazo de $n$ con $0$ en la función.

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{(0) - 1}}{1 + 3^{(0) - 1}}$

Paso 10

Simplifica la función evaluada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{- 1}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Paso 10.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot \frac{1}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Paso 10.1.3

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Paso 10.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Paso 10.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 + 4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Paso 10.1.6

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{- 1}}$

Paso 10.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$

Paso 10.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Paso 10.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}$

Paso 10.2.5

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}}$

Paso 10.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$7 (\frac{1}{4})$

Paso 10.5

Combina $7$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{4}$

Forma decimal:

$1.75$

Forma de número mixto:

$1 \frac{3}{4}$