Matemática discreta Ejemplos

$3 a + 9 b - 3 c = 12$ , $3 a + 6 b - 2 c = 5$ , $2 a - 2 b = - 10$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & - 3 & 12 \\ 3 & 6 & - 2 & 5 \\ 2 & - 2 & 0 & - 10 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{9}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{12}{3} \\ 3 & 6 & - 2 & 5 \\ 2 & - 2 & 0 & - 10 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 3 & 6 & - 2 & 5 \\ 2 & - 2 & 0 & - 10 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 6 - 3 \cdot 3 & - 2 - 3 \cdot - 1 & 5 - 3 \cdot 4 \\ 2 & - 2 & 0 & - 10 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & - 3 & 1 & - 7 \\ 2 & - 2 & 0 & - 10 \end{array}]$

Paso 2.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & - 3 & 1 & - 7 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot - 1 & - 10 - 2 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & - 3 & 1 & - 7 \\ 0 & - 8 & 2 & - 18 \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 \\ 0 & - 8 & 2 & - 18 \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & - 8 & 2 & - 18 \end{array}]$

Paso 2.5

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} + 8 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.5.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} + 8 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 & 2 + 8 (- \frac{1}{3}) & - 18 + 8 (\frac{7}{3}) \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Paso 2.6

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{3}{2}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{3}{2}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} (- \frac{2}{3}) & - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 2.7

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.7.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{7}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 2.8

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.8.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 3 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 4 - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 2.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 2.9

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.9.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 2.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- 3, 2, - 1)$