Matemática discreta Ejemplos

$3 x - 2 y = - 3$ , $8 x - y = 5$

Paso 1

Resuelve $x$ en $3 x - 2 y = - 3$ .

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Paso 1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 3 + 2 y$

$8 x - y = 5$

Paso 1.2

Divide cada término en $3 x = - 3 + 2 y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $3 x = - 3 + 2 y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 3}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 3}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

$x = \frac{- 3}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

$x = \frac{- 3}{3} + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Divide $- 3$ por $3$ .

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$8 x - y = 5$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 1 + \frac{2 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $8 x - y = 5$ por $- 1 + \frac{2 y}{3}$ .

$8 (- 1 + \frac{2 y}{3}) - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $8 (- 1 + \frac{2 y}{3}) - y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot - 1 + 8 (\frac{2 y}{3}) - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 8 + 8 (\frac{2 y}{3}) - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $8 \frac{2 y}{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $8$ y $\frac{2 y}{3}$ .

$- 8 + \frac{8 (2 y)}{3} - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$- 8 + \frac{16 y}{3} - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{16 y}{3} - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{16 y}{3} - y = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{16 y}{3} - y \cdot \frac{3}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $- y$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 8 + \frac{16 y}{3} + \frac{- y \cdot 3}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 8 + \frac{16 y - y \cdot 3}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{16 y - y \cdot 3}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $16 y - y \cdot 3$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $16 y$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 16 - y \cdot 3}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $- y \cdot 3$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 16 + y (- 1 \cdot 3)}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 16 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$- 8 + \frac{y (16 - 1 \cdot 3)}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y (16 - 1 \cdot 3)}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 8 + \frac{y (16 - 3)}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Resta $3$ de $16$ .

$- 8 + \frac{y \cdot 13}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{y \cdot 13}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $13$ a la izquierda de $y$ .

$- 8 + \frac{13 y}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{13 y}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{13 y}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{13 y}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$- 8 + \frac{13 y}{3} = 5$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- 8 + \frac{13 y}{3} = 5$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{13 y}{3} = 5 + 8$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.1.2

Suma $5$ y $8$ .

$\frac{13 y}{3} = 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{13 y}{3} = 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{13}$ .

$\frac{3}{13} \cdot \frac{13 y}{3} = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{13} \cdot \frac{13 y}{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{13} \cdot \frac{13 y}{3} = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{13} \cdot (13 y) = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{13} \cdot (13 y) = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $13$ de $13 y$ .

$\frac{1}{13} \cdot (13 (y)) = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{13} \cdot (13 y) = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{3}{13} \cdot 13$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 3$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$y = 3$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$y = 3$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$y = 3$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

$y = 3$

$x = - 1 + \frac{2 y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 1 + \frac{2 y}{3}$ por $3$ .

$x = - 1 + \frac{2 (3)}{3}$

$y = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 1 + \frac{2 (3)}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = - 1 + \frac{6}{3}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.2

Divide $6$ por $3$ .

$x = - 1 + 2$

$y = 3$

Paso 4.2.1.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$x = 1$

$y = 3$

$x = 1$

$y = 3$

$x = 1$

$y = 3$

$x = 1$

$y = 3$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, 3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(1, 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 1, y = 3$

Paso 7