Matemática discreta Ejemplos

$4 x + 3 y = 2$ , $2 x - y = 1$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x + 3 y = 2$ .

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Paso 1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = 2 - 3 y$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 2 - 3 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 2 - 3 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{2}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{2}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - y = 1$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x - y = 1$ por $\frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$ .

$2 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}) - y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + 2 (- \frac{3 y}{4}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 + 2 (- \frac{3 y}{4}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 y}{4}$ al numerador.

$1 + 2 (\frac{- 3 y}{4}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$1 + 2 (\frac{- 3 y}{2 (2)}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$1 + 2 (\frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- 3 y}{2} - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 + \frac{- 3 y}{2} - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{3 y}{2} - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 - \frac{3 y}{2} - y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$1 - \frac{3 y}{2} - y \cdot \frac{2}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $- y$ y $\frac{2}{2}$ .

$1 - \frac{3 y}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{- 3 y - y \cdot 2}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 + \frac{- 3 y - y \cdot 2}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $- 3 y - y \cdot 2$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $- 3 y$ .

$1 + \frac{y \cdot - 3 - y \cdot 2}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $- y \cdot 2$ .

$1 + \frac{y \cdot - 3 + y (- 1 \cdot 2)}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot - 3 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$1 + \frac{y (- 3 - 1 \cdot 2)}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 + \frac{y (- 3 - 1 \cdot 2)}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 + \frac{y (- 3 - 2)}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Resta $2$ de $- 3$ .

$1 + \frac{y \cdot - 5}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 + \frac{y \cdot - 5}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $y$ .

$1 + \frac{- 5 \cdot y}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{5 y}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 - \frac{5 y}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 - \frac{5 y}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 - \frac{5 y}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$1 - \frac{5 y}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $1 - \frac{5 y}{2} = 1$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{5 y}{2} = 1 - 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{5 y}{2} = 0$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{5 y}{2} = 0$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 y = 0$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3

Divide cada término en $5 y = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $5 y = 0$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{0}{5}$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{0}{5}$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{5}$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{0}{5}$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{0}{5}$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{4}$ por $0$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 (0)}{4}$

$y = 0$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} - \frac{3 (0)}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Factoriza $4$ de $3 (0)$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{4 (3 \cdot (0))}{4}$

$y = 0$

Paso 4.2.1.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{4 (3 \cdot (0))}{4 (1)}$

$y = 0$

Paso 4.2.1.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{2} - \frac{4 (3 \cdot (0))}{4 \cdot 1}$

$y = 0$

Paso 4.2.1.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 \cdot (0)}{1}$

$y = 0$

Paso 4.2.1.1.1.2.4

Divide $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2} - (3 \cdot (0))$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} - (3 \cdot (0))$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} - (3 \cdot (0))$

$y = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- (3 \cdot (0))$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$x = \frac{1}{2} - 0$

$y = 0$

Paso 4.2.1.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$x = \frac{1}{2} + 0$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} + 0$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2} + 0$

$y = 0$

Paso 4.2.1.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$x = \frac{1}{2}$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$y = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$y = 0$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{1}{2}, 0)$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{1}{2}, y = 0$

Paso 7