Matemática discreta Ejemplos

$4 x + 3 y = - 10$ , $5 x - 3 y = - 53$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x + 3 y = - 10$ .

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Paso 1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 10 - 3 y$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = - 10 - 3 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = - 10 - 3 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$x = \frac{2 (- 5)}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{- 3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$5 x - 3 y = - 53$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $5 x - 3 y = - 53$ por $- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$ .

$5 (- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $5 (- \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}) - 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (- \frac{5}{2}) + 5 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 (\frac{5}{2}) + 5 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{2} + 5 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{- 25}{2} + 5 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 25}{2} + 5 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $5 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 25}{2} - 5 \frac{3 y}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 5$ y $\frac{3 y}{4}$ .

$\frac{- 25}{2} + \frac{- 5 (3 y)}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$\frac{- 25}{2} + \frac{- 15 y}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 25}{2} + \frac{- 15 y}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{2} + \frac{- 15 y}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{2} - \frac{15 y}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} - \frac{15 y}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} - \frac{15 y}{4} - 3 y = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{25}{2} - \frac{15 y}{4} - 3 y \cdot \frac{4}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $- 3 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{25}{2} - \frac{15 y}{4} + \frac{- 3 y \cdot 4}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{25}{2} + \frac{- 15 y - 3 y \cdot 4}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} + \frac{- 15 y - 3 y \cdot 4}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $3 y$ de $- 15 y - 3 y \cdot 4$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $3 y$ de $- 15 y$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{3 y (- 5) - 3 y \cdot 4}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $3 y$ de $- 3 y \cdot 4$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{3 y (- 5) + 3 y (- 1 \cdot 4)}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $3 y$ de $3 y (- 5) + 3 y (- 1 \cdot 4)$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{3 y (- 5 - 1 \cdot 4)}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} + \frac{3 y (- 5 - 1 \cdot 4)}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{3 y (- 5 - 4)}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Resta $4$ de $- 5$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{3 y \cdot - 9}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.4

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{- 27 y}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} + \frac{- 27 y}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{2} - \frac{27 y}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} - \frac{27 y}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} - \frac{27 y}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} - \frac{27 y}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{25}{2} - \frac{27 y}{4} = - 53$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{25}{2} - \frac{27 y}{4} = - 53$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $\frac{25}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{27 y}{4} = - 53 + \frac{25}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.2

Para escribir $- 53$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27 y}{4} = - 53 \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.3

Combina $- 53$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27 y}{4} = \frac{- 53 \cdot 2}{2} + \frac{25}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{27 y}{4} = \frac{- 53 \cdot 2 + 25}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 53$ por $2$ .

$- \frac{27 y}{4} = \frac{- 106 + 25}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.5.2

Suma $- 106$ y $25$ .

$- \frac{27 y}{4} = \frac{- 81}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{27 y}{4} = \frac{- 81}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{27 y}{4} = - \frac{81}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{27 y}{4} = - \frac{81}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{4}{27}$ .

$- \frac{4}{27} \cdot (- \frac{27 y}{4}) = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $- \frac{4}{27} (- \frac{27 y}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{27}$ al numerador.

$\frac{- 4}{27} \cdot (- \frac{27 y}{4}) = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27 y}{4}$ al numerador.

$\frac{- 4}{27} \cdot \frac{- 27 y}{4} = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{27} \cdot \frac{- 27 y}{4} = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{27} \cdot \frac{- 27 y}{4} = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{27} \cdot (- 27 y) = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 1}{27} \cdot (- 27 y) = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $27$ de $- 27 y$ .

$\frac{- 1}{27} \cdot (27 (- y)) = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{27} \cdot (27 (- y)) = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $- \frac{4}{27} (- \frac{81}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{27}$ al numerador.

$y = \frac{- 4}{27} \cdot (- \frac{81}{2})$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{81}{2}$ al numerador.

$y = \frac{- 4}{27} \cdot \frac{- 81}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{2 (- 2)}{27} \cdot \frac{- 81}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot - 2}{27} \cdot \frac{- 81}{2}$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 2}{27} \cdot - 81$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{- 2}{27} \cdot - 81$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $27$ de $- 81$ .

$y = \frac{- 2}{27} \cdot (27 (- 3))$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 2}{27} \cdot (27 \cdot - 3)$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - 2 \cdot - 3$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = - 2 \cdot - 3$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $6$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{5}{2} - \frac{3 y}{4}$ por $6$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 (6)}{4}$

$y = 6$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{5}{2} - \frac{3 (6)}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $3 (6)$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{2 (3 \cdot (3))}{4}$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{2 (3 \cdot (3))}{2 (2)}$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{5}{2} - \frac{2 (3 \cdot (3))}{2 \cdot 2}$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 \cdot (3)}{2}$

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 \cdot (3)}{2}$

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{3 \cdot (3)}{2}$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = - \frac{5}{2} - \frac{9}{2}$

$y = 6$

$x = - \frac{5}{2} - \frac{9}{2}$

$y = 6$

Paso 4.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 5 - 9}{2}$

$y = 6$

Paso 4.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.2.1

Resta $9$ de $- 5$ .

$x = \frac{- 14}{2}$

$y = 6$

Paso 4.2.1.2.2.2

Divide $- 14$ por $2$ .

$x = - 7$

$y = 6$

$x = - 7$

$y = 6$

$x = - 7$

$y = 6$

$x = - 7$

$y = 6$

$x = - 7$

$y = 6$

$x = - 7$

$y = 6$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 7, 6)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- 7, 6)$

Forma de la ecuación:

$x = - 7, y = 6$

Paso 7