Matemática discreta Ejemplos

$3 x - 6 y = 5$ , $4 x - 3 y = 5$

Paso 1

Resuelve $x$ en $3 x - 6 y = 5$ .

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Paso 1.1

Suma $6 y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 5 + 6 y$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2

Divide cada término en $3 x = 5 + 6 y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $3 x = 5 + 6 y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{6 y}{3}$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{6 y}{3}$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{6 y}{3}$

$4 x - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + \frac{6 y}{3}$

$4 x - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + \frac{6 y}{3}$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $6 y$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{3 (2 y)}{3}$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{3 (2 y)}{3 (1)}$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{5}{3} + \frac{3 (2 y)}{3 \cdot 1}$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{1}$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 1.2.3.1.2.4

Divide $2 y$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$4 x - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$4 x - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$4 x - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$4 x - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$4 x - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$4 x - 3 y = 5$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{5}{3} + 2 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $4 x - 3 y = 5$ por $\frac{5}{3} + 2 y$ .

$4 (\frac{5}{3} + 2 y) - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $4 (\frac{5}{3} + 2 y) - 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\frac{5}{3}) + 4 (2 y) - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $4 (\frac{5}{3})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $4$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3} + 4 (2 y) - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{20}{3} + 4 (2 y) - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$\frac{20}{3} + 4 (2 y) - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{20}{3} + 8 y - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$\frac{20}{3} + 8 y - 3 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 2.2.1.2

Resta $3 y$ de $8 y$ .

$\frac{20}{3} + 5 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$\frac{20}{3} + 5 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$\frac{20}{3} + 5 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$\frac{20}{3} + 5 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{20}{3} + 5 y = 5$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $\frac{20}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y = 5 - \frac{20}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.1.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$5 y = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{20}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.1.3

Combina $5$ y $\frac{3}{3}$ .

$5 y = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{20}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 y = \frac{5 \cdot 3 - 20}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$5 y = \frac{15 - 20}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.1.5.2

Resta $20$ de $15$ .

$5 y = \frac{- 5}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$5 y = \frac{- 5}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 y = - \frac{5}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$5 y = - \frac{5}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 y = - \frac{5}{3}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 y = - \frac{5}{3}$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- \frac{5}{3}}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- \frac{5}{3}}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{3}}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$y = \frac{- \frac{5}{3}}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$y = \frac{- \frac{5}{3}}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{3}$ al numerador.

$y = \frac{- 5}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.3.2.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y = \frac{5 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{5 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$y = \frac{- 1}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 3.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = \frac{5}{3} + 2 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{1}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{5}{3} + 2 y$ por $- \frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5}{3} + 2 (- \frac{1}{3})$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{5}{3} + 2 (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{5}{3} - 2 (\frac{1}{3})$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 4.2.1.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2}{3}$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2}{3}$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{5}{3} - \frac{2}{3}$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2}{3}$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 4.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 - 2}{3}$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 4.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.2.1

Resta $2$ de $5$ .

$x = \frac{3}{3}$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 4.2.1.2.2.2

Divide $3$ por $3$ .

$x = 1$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 1$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 1$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 1$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 1$

$y = - \frac{1}{3}$

$x = 1$

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, - \frac{1}{3})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(1, - \frac{1}{3})$

Forma de la ecuación:

$x = 1, y = - \frac{1}{3}$

Paso 7