Matemática discreta Ejemplos

$x + y - 3 z = - 13$ , $3 x - 3 + 4 z = 6$ , $x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 3 z = - 13 - y$

$3 x - 3 + 4 z = 6$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 1.2

Suma $3 z$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 13 - y + 3 z$

$3 x - 3 + 4 z = 6$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$x = - 13 - y + 3 z$

$3 x - 3 + 4 z = 6$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 13 - y + 3 z$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 3 + 4 z = 6$ por $- 13 - y + 3 z$ .

$3 (- 13 - y + 3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (- 13 - y + 3 z) - 3 + 4 z$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot - 13 + 3 (- y) + 3 (3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $- 13$ .

$- 39 + 3 (- y) + 3 (3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 39 - 3 y + 3 (3 z) - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 39 - 3 y + 9 z - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 39 - 3 y + 9 z - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 39 - 3 y + 9 z - 3 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Resta $3$ de $- 39$ .

$- 3 y + 9 z - 42 + 4 z = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $9 z$ y $4 z$ .

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$x + 3 y - 2 z = - 12$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x + 3 y - 2 z = - 12$ por $- 13 - y + 3 z$ .

$(- 13 - y + 3 z) + 3 y - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $(- 13 - y + 3 z) + 3 y - 2 z$ .

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Paso 2.4.1.1

Suma $- y$ y $3 y$ .

$- 13 + 2 y + 3 z - 2 z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 2.4.1.2

Resta $2 z$ de $3 z$ .

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 13 + 2 y + z = - 12$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y + z = - 12 + 13$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 3.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 12 + 13 - 2 y$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 3.3

Suma $- 12$ y $13$ .

$z = 1 - 2 y$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

$z = 1 - 2 y$

$- 3 y + 13 z - 42 = 6$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $z$ por $1 - 2 y$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $- 3 y + 13 z - 42 = 6$ por $1 - 2 y$ .

$- 3 y + 13 (1 - 2 y) - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 3 y + 13 (1 - 2 y) - 42$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 y + 13 \cdot 1 + 13 (- 2 y) - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $13$ por $1$ .

$- 3 y + 13 + 13 (- 2 y) - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $13$ .

$- 3 y + 13 - 26 y - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 3 y + 13 - 26 y - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1.2.1

Resta $26 y$ de $- 3 y$ .

$- 29 y + 13 - 42 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 4.2.1.2.2

Resta $42$ de $13$ .

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 z$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = - 13 - y + 3 z$ por $1 - 2 y$ .

$x = - 13 - y + 3 (1 - 2 y)$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Simplifica $- 13 - y + 3 (1 - 2 y)$ .

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Paso 4.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 13 - y + 3 \cdot 1 + 3 (- 2 y)$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Paso 4.4.1.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$x = - 13 - y + 3 + 3 (- 2 y)$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Paso 4.4.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$x = - 13 - y + 3 - 6 y$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 13 - y + 3 - 6 y$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Paso 4.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.4.1.2.1

Suma $- 13$ y $3$ .

$x = - y - 10 - 6 y$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Paso 4.4.1.2.2

Resta $6 y$ de $- y$ .

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

$x = - 7 y - 10$

$- 29 y - 29 = 6$

$z = 1 - 2 y$

Paso 5

Resuelve $y$ en $- 29 y - 29 = 6$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $29$ a ambos lados de la ecuación.

$- 29 y = 6 + 29$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Paso 5.1.2

Suma $6$ y $29$ .

$- 29 y = 35$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$- 29 y = 35$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 29 y = 35$ por $- 29$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 29 y = 35$ por $- 29$ .

$\frac{- 29 y}{- 29} = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 29$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 29 y}{- 29} = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = \frac{35}{- 29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

$y = - \frac{35}{29}$

$x = - 7 y - 10$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{35}{29}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 7 y - 10$ por $- \frac{35}{29}$ .

$x = - 7 (- \frac{35}{29}) - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- 7 (- \frac{35}{29}) - 10$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 7 (- \frac{35}{29})$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$x = 7 (\frac{35}{29}) - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.1.2

Combina $7$ y $\frac{35}{29}$ .

$x = \frac{7 \cdot 35}{29} - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica $7$ por $35$ .

$x = \frac{245}{29} - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = \frac{245}{29} - 10$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.2

Para escribir $- 10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{29}{29}$ .

$x = \frac{245}{29} - 10 \cdot \frac{29}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.3

Combina $- 10$ y $\frac{29}{29}$ .

$x = \frac{245}{29} + \frac{- 10 \cdot 29}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{245 - 10 \cdot 29}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica $- 10$ por $29$ .

$x = \frac{245 - 290}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.5.2

Resta $290$ de $245$ .

$x = \frac{- 45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = \frac{- 45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 - 2 y$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $z = 1 - 2 y$ por $- \frac{35}{29}$ .

$z = 1 - 2 (- \frac{35}{29})$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Paso 6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.1

Simplifica $1 - 2 (- \frac{35}{29})$ .

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $- 2 (- \frac{35}{29})$ .

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Paso 6.4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$z = 1 + 2 (\frac{35}{29})$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Paso 6.4.1.1.2

Combina $2$ y $\frac{35}{29}$ .

$z = 1 + \frac{2 \cdot 35}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Paso 6.4.1.1.3

Multiplica $2$ por $35$ .

$z = 1 + \frac{70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = 1 + \frac{70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Paso 6.4.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$z = \frac{29}{29} + \frac{70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Paso 6.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{29 + 70}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Paso 6.4.1.4

Suma $29$ y $70$ .

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

$z = \frac{99}{29}$

$x = - \frac{45}{29}$

$y = - \frac{35}{29}$

Paso 7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{45}{29}, - \frac{35}{29}, \frac{99}{29})$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- \frac{45}{29}, - \frac{35}{29}, \frac{99}{29})$

Forma de la ecuación:

$x = - \frac{45}{29}, y = - \frac{35}{29}, z = \frac{99}{29}$