Matemática discreta Ejemplos

$x + y + z = - 12$ , $x - 2 y - z = 9$ , $2 x + 2 y - z = - 21$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x + z = - 12 - y$

$x - 2 y - z = 9$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Paso 1.2

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 12 - y - z$

$x - 2 y - z = 9$

$2 x + 2 y - z = - 21$

$x = - 12 - y - z$

$x - 2 y - z = 9$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 12 - y - z$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x - 2 y - z = 9$ por $- 12 - y - z$ .

$(- 12 - y - z) - 2 y - z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $(- 12 - y - z) - 2 y - z$ .

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Paso 2.2.1.1

Resta $2 y$ de $- y$ .

$- 12 - 3 y - z - z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Paso 2.2.1.2

Resta $z$ de $- z$ .

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$2 x + 2 y - z = - 21$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + 2 y - z = - 21$ por $- 12 - y - z$ .

$2 (- 12 - y - z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $2 (- 12 - y - z) + 2 y - z$ .

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Paso 2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot - 12 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 2.4.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.4.1.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$- 24 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 2.4.1.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 24 - 2 y + 2 (- z) + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 2.4.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 2.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.1.2.1

Combina los términos opuestos en $- 24 - 2 y - 2 z + 2 y - z$ .

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Paso 2.4.1.2.1.1

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$- 24 - 2 z + 0 - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 2.4.1.2.1.2

Suma $- 24 - 2 z$ y $0$ .

$- 24 - 2 z - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 2 z - z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 2.4.1.2.2

Resta $z$ de $- 2 z$ .

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 24 - 3 z = - 21$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 3

Resuelve $z$ en $- 24 - 3 z = - 21$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 z = - 21 + 24$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 3.1.2

Suma $- 21$ y $24$ .

$- 3 z = 3$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$- 3 z = 3$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 3 z = 3$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 3 z = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = \frac{3}{- 3}$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $3$ por $- 3$ .

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

$z = - 1$

$- 12 - 3 y - 2 z = 9$

$x = - 12 - y - z$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $z$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $- 12 - 3 y - 2 z = 9$ por $- 1$ .

$- 12 - 3 y - 2 \cdot - 1 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 12 - 3 y - 2 \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 12 - 3 y + 2 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 12$ y $2$ .

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - 12 - y - z$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = - 12 - y - z$ por $- 1$ .

$x = - 12 - y - (- 1)$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Simplifica $- 12 - y - (- 1)$ .

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = - 12 - y + 1$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

Paso 4.4.1.2

Suma $- 12$ y $1$ .

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

$x = - y - 11$

$- 3 y - 10 = 9$

$z = - 1$

Paso 5

Resuelve $y$ en $- 3 y - 10 = 9$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = 9 + 10$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Paso 5.1.2

Suma $9$ y $10$ .

$- 3 y = 19$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$- 3 y = 19$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 3 y = 19$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 3 y = 19$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = \frac{19}{- 3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

$y = - \frac{19}{3}$

$x = - y - 11$

$z = - 1$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{19}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - y - 11$ por $- \frac{19}{3}$ .

$x = - (- \frac{19}{3}) - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- (- \frac{19}{3}) - 11$ .

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- (- \frac{19}{3})$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{19}{3}) - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $\frac{19}{3}$ por $1$ .

$x = \frac{19}{3} - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = \frac{19}{3} - 11$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.2

Para escribir $- 11$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{19}{3} - 11 \cdot \frac{3}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.3

Combina $- 11$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{19}{3} + \frac{- 11 \cdot 3}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{19 - 11 \cdot 3}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica $- 11$ por $3$ .

$x = \frac{19 - 33}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.5.2

Resta $33$ de $19$ .

$x = \frac{- 14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = \frac{- 14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{19}{3}$

$z = - 1$

Paso 7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{14}{3}, - \frac{19}{3}, - 1)$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- \frac{14}{3}, - \frac{19}{3}, - 1)$

Forma de la ecuación:

$x = - \frac{14}{3}, y = - \frac{19}{3}, z = - 1$