Matemática discreta Ejemplos

$p = q^{2} + 8 q + 16$ , $p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Paso 1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Paso 2

Resuelve $q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$ en $q$ .

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Paso 2.1

Mueve todos los términos que contengan $q$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Suma $3 q^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} = 6 q + 436$

Paso 2.1.2

Resta $6 q$ de ambos lados de la ecuación.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} - 6 q = 436$

Paso 2.1.3

Suma $q^{2}$ y $3 q^{2}$ .

$4 q^{2} + 8 q + 16 - 6 q = 436$

Paso 2.1.4

Resta $6 q$ de $8 q$ .

$4 q^{2} + 2 q + 16 = 436$

Paso 2.2

Resta $436$ de ambos lados de la ecuación.

$4 q^{2} + 2 q + 16 - 436 = 0$

Paso 2.3

Resta $436$ de $16$ .

$4 q^{2} + 2 q - 420 = 0$

Paso 2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $4 q^{2} + 2 q - 420$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $2$ de $4 q^{2}$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 q - 420 = 0$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 q$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 (q) - 420 = 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $2$ de $- 420$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 q + 2 \cdot - 210 = 0$

Paso 2.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 q^{2}) + 2 q$ .

$2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210 = 0$

Paso 2.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210$ .

$2 (2 q^{2} + q - 210) = 0$

Paso 2.4.2

Factoriza.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 210 = - 420$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$2 (2 q^{2} + 1 q - 210) = 0$

Paso 2.4.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 20$ más $21$

$2 (2 q^{2} + (- 20 + 21) q - 210) = 0$

Paso 2.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 q^{2} - 20 q + 21 q - 210) = 0$

Paso 2.4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((2 q^{2} - 20 q) + 21 q - 210) = 0$

Paso 2.4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (2 q (q - 10) + 21 (q - 10)) = 0$

Paso 2.4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $q - 10$ .

$2 ((q - 10) (2 q + 21)) = 0$

Paso 2.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$

Paso 2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$q - 10 = 0$

$2 q + 21 = 0 + p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Paso 2.6

Establece $q - 10$ igual a $0$ y resuelve $q$ .

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Paso 2.6.1

Establece $q - 10$ igual a $0$ .

$q - 10 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$q = 10$

Paso 2.7

Establece $2 q + 21$ igual a $0$ y resuelve $q$ .

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Paso 2.7.1

Establece $2 q + 21$ igual a $0$ .

$2 q + 21 = 0$

Paso 2.7.2

Resuelve $2 q + 21 = 0$ en $q$ .

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Paso 2.7.2.1

Resta $21$ de ambos lados de la ecuación.

$2 q = - 21$

Paso 2.7.2.2

Divide cada término en $2 q = - 21$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.7.2.2.1

Divide cada término en $2 q = - 21$ por $2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Paso 2.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Paso 2.7.2.2.2.1.2

Divide $q$ por $1$ .

$q = \frac{- 21}{2}$

Paso 2.7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$q = - \frac{21}{2}$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$ verdadera.

$q = 10, - \frac{21}{2}$

Paso 3

Evalúa $p$ cuando $q = 10$ .

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Paso 3.1

Sustituye $10$ por $q$ .

$p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$

Paso 3.2

Sustituye $10$ por $q$ en $p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$ , y resuelve $p$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$

Paso 3.2.2

Simplifica $- 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$ .

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Paso 3.2.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10^{1} + 436$

Paso 3.2.2.2

Move the decimal point in $6$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2} + 436$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $10^{2}$ de $- 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2}$ .

$p = (- 3 + 0.6) \cdot 10^{2} + 436$

Paso 3.2.2.4

Suma $- 3$ y $0.6$ .

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 436$

Paso 3.2.2.5

Convert $436$ to scientific notation.

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$

Paso 3.2.2.6

Factoriza $10^{2}$ de $- 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$ .

$p = (- 2.4 + 4.36) \cdot 10^{2}$

Paso 3.2.2.7

Suma $- 2.4$ y $4.36$ .

$p = 1.96 \cdot 10^{2}$

Paso 4

Evalúa $p$ cuando $q = - \frac{21}{2}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- \frac{21}{2}$ por $q$ .

$p = - 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2

Simplifica $- 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{21}{2}$ .

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{21}{2}$ .

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$p = - 3 (1 \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$p = - 3 \frac{21^{2}}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.4

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$p = - 3 \frac{441}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$p = - 3 (\frac{441}{4}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $- 3 (\frac{441}{4})$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Combina $- 3$ y $\frac{441}{4}$ .

$p = \frac{- 3 \cdot 441}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.6.2

Multiplica $- 3$ por $441$ .

$p = \frac{- 1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{21}{2}$ al numerador.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (\frac{- 21}{2}) + 436$

Paso 4.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$p = - \frac{1323}{4} + 2 (3) \frac{- 21}{2} + 436$

Paso 4.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$p = - \frac{1323}{4} + 2 \cdot 3 \frac{- 21}{2} + 436$

Paso 4.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$p = - \frac{1323}{4} + 3 \cdot - 21 + 436$

Paso 4.2.1.9

Multiplica $3$ por $- 21$ .

$p = - \frac{1323}{4} - 63 + 436$

Paso 4.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.1

Escribe $- 63$ como una fracción con el denominador $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} + 436$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{- 63}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} \cdot \frac{4}{4} + 436$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $\frac{- 63}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + 436$

Paso 4.2.2.4

Escribe $436$ como una fracción con el denominador $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $\frac{436}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.2.2.6

Multiplica $\frac{436}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$p = \frac{- 1323 - 63 \cdot 4 + 436 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 63$ por $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 436 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $436$ por $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 1744}{4}$

Paso 4.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.5.1

Resta $252$ de $- 1323$ .

$p = \frac{- 1575 + 1744}{4}$

Paso 4.2.5.2

Suma $- 1575$ y $1744$ .

$p = \frac{169}{4}$

Paso 5

La solución del sistema de ecuaciones comprende todos los valores que hacen que el sistema sea verdadero.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10 p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10$

$p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$