Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 8$ , $\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1

Resuelve $x$ en $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 8$ .

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Paso 1.1

Resta $\frac{y}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = 8 - \frac{y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 2 (8 - \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica $2 (8 - \frac{y}{3})$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 2 \cdot 8 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$x = 16 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.3.2.1.3

Multiplica $2 (- \frac{y}{3})$ .

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Paso 1.3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = 16 - 2 \frac{y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.3.2.1.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{y}{3}$ .

$x = 16 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.3.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = 16 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 1.4

Reordena $16$ y $- \frac{2 y}{3}$ .

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{2 y}{3} + 16$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $\frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$ por $- \frac{2 y}{3} + 16$ .

$\frac{2 (- \frac{2 y}{3} + 16)}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{2 (- \frac{2 y}{3} + 16)}{3} + \frac{3 y}{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $- \frac{2 y}{3} + 16$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $- \frac{2 y}{3}$ .

$\frac{2 (2 (- \frac{y}{3}) + 16)}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 (2 (- \frac{y}{3}) + 2 (8))}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- \frac{y}{3}) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (2 (- \frac{y}{3} + 8))}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{2 \cdot (2 (- \frac{y}{3} + 8))}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (- \frac{y}{3} + 8)}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.1.3

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (- \frac{y}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.1.4

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (- \frac{y}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (\frac{- y + 8 \cdot 3}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.1.6

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{4 (\frac{- y + 24}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (\frac{- y + 24}{3})}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $4$ y $\frac{- y + 24}{3}$ .

$\frac{\frac{4 (- y + 24)}{3}}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4 (- y + 24)}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $\frac{4 (- y + 24)}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Multiplica $\frac{4 (- y + 24)}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{3 \cdot 3} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.1.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{9} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (- y + 24)}{9} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (- y + 24)}{9} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $\frac{4 (- y + 24)}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 y}{2} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.3

Para escribir $\frac{3 y}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 (- y + 24)}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 y}{2} \cdot \frac{9}{9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Multiplica $\frac{4 (- y + 24)}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{3 y}{2} \cdot \frac{9}{9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.4.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y}{2} \cdot \frac{9}{9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.4.3

Multiplica $\frac{3 y}{2}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y \cdot 9}{2 \cdot 9} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.4.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2}{18} + \frac{3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (- y + 24) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 (- y) + 4 \cdot 24) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{(- 4 y + 4 \cdot 24) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6.3

Multiplica $4$ por $24$ .

$\frac{(- 4 y + 96) \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 y \cdot 2 + 96 \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 y + 96 \cdot 2 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6.6

Multiplica $96$ por $2$ .

$\frac{- 8 y + 192 + 3 y \cdot 9}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6.7

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{- 8 y + 192 + 27 y}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 2.2.1.6.8

Suma $- 8 y$ y $27 y$ .

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$\frac{19 y + 192}{18} = 17$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{19 y + 192}{18} = 17$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $18$ .

$\frac{19 y + 192}{18} \cdot 18 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{19 y + 192}{18} \cdot 18 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$19 y + 192 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 17 \cdot 18$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $17$ por $18$ .

$19 y + 192 = 306$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 306$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y + 192 = 306$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $192$ de ambos lados de la ecuación.

$19 y = 306 - 192$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.3.1.2

Resta $192$ de $306$ .

$19 y = 114$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$19 y = 114$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $19 y = 114$ por $19$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $19 y = 114$ por $19$ .

$\frac{19 y}{19} = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $19$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{19 y}{19} = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = \frac{114}{19}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $114$ por $19$ .

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

$y = 6$

$x = - \frac{2 y}{3} + 16$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $6$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{2 y}{3} + 16$ por $6$ .

$x = - \frac{2 (6)}{3} + 16$

$y = 6$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{2 (6)}{3} + 16$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $2 (6)$ .

$x = - \frac{3 (2 \cdot (2))}{3} + 16$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x = - \frac{3 (2 \cdot (2))}{3 (1)} + 16$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{3 (2 \cdot (2))}{3 \cdot 1} + 16$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{2 \cdot (2)}{1} + 16$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.1.2.4

Divide $2 \cdot (2)$ por $1$ .

$x = - (2 \cdot (2)) + 16$

$y = 6$

$x = - (2 \cdot (2)) + 16$

$y = 6$

$x = - (2 \cdot (2)) + 16$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- (2 \cdot (2))$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - 1 \cdot 4 + 16$

$y = 6$

Paso 4.2.1.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = - 4 + 16$

$y = 6$

$x = - 4 + 16$

$y = 6$

$x = - 4 + 16$

$y = 6$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 4$ y $16$ .

$x = 12$

$y = 6$

$x = 12$

$y = 6$

$x = 12$

$y = 6$

$x = 12$

$y = 6$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(12, 6)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(12, 6)$

Forma de la ecuación:

$x = 12, y = 6$

Paso 7