Matemática discreta Ejemplos

$7 x + 13 y = - 5$ , $5 x + 4 y = 23$

Paso 1

Resuelve $x$ en $7 x + 13 y = - 5$ .

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Paso 1.1

Resta $13 y$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x = - 5 - 13 y$

$5 x + 4 y = 23$

Paso 1.2

Divide cada término en $7 x = - 5 - 13 y$ por $7$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $7 x = - 5 - 13 y$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7} + \frac{- 13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7} + \frac{- 13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{7} + \frac{- 13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

$x = \frac{- 5}{7} + \frac{- 13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

$x = \frac{- 5}{7} + \frac{- 13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{7} + \frac{- 13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$5 x + 4 y = 23$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $5 x + 4 y = 23$ por $- \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$ .

$5 (- \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}) + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $5 (- \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}) + 4 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (- \frac{5}{7}) + 5 (- \frac{13 y}{7}) + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $5 (- \frac{5}{7})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 (\frac{5}{7}) + 5 (- \frac{13 y}{7}) + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{5}{7}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{7} + 5 (- \frac{13 y}{7}) + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{- 25}{7} + 5 (- \frac{13 y}{7}) + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$\frac{- 25}{7} + 5 (- \frac{13 y}{7}) + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $5 (- \frac{13 y}{7})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 25}{7} - 5 \frac{13 y}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 5$ y $\frac{13 y}{7}$ .

$\frac{- 25}{7} + \frac{- 5 (13 y)}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $13$ por $- 5$ .

$\frac{- 25}{7} + \frac{- 65 y}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$\frac{- 25}{7} + \frac{- 65 y}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{7} + \frac{- 65 y}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{7} - \frac{65 y}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$- \frac{25}{7} - \frac{65 y}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$- \frac{25}{7} - \frac{65 y}{7} + 4 y = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $4 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{25}{7} - \frac{65 y}{7} + 4 y \cdot \frac{7}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.3

Combina $4 y$ y $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{25}{7} - \frac{65 y}{7} + \frac{4 y \cdot 7}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{25}{7} + \frac{- 65 y + 4 y \cdot 7}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 25 - 65 y + 4 y \cdot 7}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{- 25 - 65 y + 28 y}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.7

Suma $- 65 y$ y $28 y$ .

$\frac{- 25 - 37 y}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.8

Reescribe $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 - 37 y}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.9

Factoriza $- 1$ de $- 37 y$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 - (37 y)}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (25) - (37 y)$ .

$\frac{- 1 (25 + 37 y)}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 2.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25 + 37 y}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$- \frac{25 + 37 y}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$- \frac{25 + 37 y}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$- \frac{25 + 37 y}{7} = 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{25 + 37 y}{7} = 23$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 7$ .

$- 7 (- \frac{25 + 37 y}{7}) = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 7 (- \frac{25 + 37 y}{7})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{25 + 37 y}{7}$ al numerador.

$- 7 \frac{- (25 + 37 y)}{7} = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$7 (- 1) (\frac{- (25 + 37 y)}{7}) = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (25 + 37 y)}{7}) = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$25 + 37 y = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$25 + 37 y = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.2.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (25 + 37 y) = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Multiplica $25 + 37 y$ por $1$ .

$25 + 37 y = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$25 + 37 y = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$25 + 37 y = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$25 + 37 y = - 7 \cdot 23$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 7$ por $23$ .

$25 + 37 y = - 161$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$25 + 37 y = - 161$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$25 + 37 y = - 161$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$37 y = - 161 - 25$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.3.2

Resta $25$ de $- 161$ .

$37 y = - 186$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$37 y = - 186$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.4

Divide cada término en $37 y = - 186$ por $37$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $37 y = - 186$ por $37$ .

$\frac{37 y}{37} = \frac{- 186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $37$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{37 y}{37} = \frac{- 186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$y = \frac{- 186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$y = \frac{- 186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{186}{37}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{5}{7} - \frac{13 y}{7}$ por $- \frac{186}{37}$ .

$x = - \frac{5}{7} - \frac{13 (- \frac{186}{37})}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{5}{7} - \frac{13 (- \frac{186}{37})}{7}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 5 - 13 (- \frac{186}{37})}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 13 (- \frac{186}{37})$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 13$ .

$x = \frac{- 5 + 13 (\frac{186}{37})}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.2.2

Combina $13$ y $\frac{186}{37}$ .

$x = \frac{- 5 + \frac{13 \cdot 186}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $13$ por $186$ .

$x = \frac{- 5 + \frac{2418}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = \frac{- 5 + \frac{2418}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{37}{37}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot \frac{37}{37} + \frac{2418}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.4

Combina $- 5$ y $\frac{37}{37}$ .

$x = \frac{\frac{- 5 \cdot 37}{37} + \frac{2418}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{- 5 \cdot 37 + 2418}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $- 5$ por $37$ .

$x = \frac{\frac{- 185 + 2418}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.6.2

Suma $- 185$ y $2418$ .

$x = \frac{\frac{2233}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = \frac{\frac{2233}{37}}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{2233}{37} \cdot \frac{1}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Factoriza $7$ de $2233$ .

$x = \frac{7 (319)}{37} \cdot \frac{1}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{7 \cdot 319}{37} \cdot \frac{1}{7}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{319}{37}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = \frac{319}{37}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = \frac{319}{37}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = \frac{319}{37}$

$y = - \frac{186}{37}$

$x = \frac{319}{37}$

$y = - \frac{186}{37}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{319}{37}, - \frac{186}{37})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{319}{37}, - \frac{186}{37})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{319}{37}, y = - \frac{186}{37}$

Paso 7