Matemática discreta Ejemplos

$360 x + 90 y = 720$ , $15 x + 40 y = 120$

Paso 1

Resuelve $x$ en $360 x + 90 y = 720$ .

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Paso 1.1

Resta $90 y$ de ambos lados de la ecuación.

$360 x = 720 - 90 y$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2

Divide cada término en $360 x = 720 - 90 y$ por $360$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $360 x = 720 - 90 y$ por $360$ .

$\frac{360 x}{360} = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $360$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{360 x}{360} = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = \frac{720}{360} + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide $720$ por $360$ .

$x = 2 + \frac{- 90 y}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 90$ y $360$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $90$ de $- 90 y$ .

$x = 2 + \frac{90 (- y)}{360}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $90$ de $360$ .

$x = 2 + \frac{90 (- y)}{90 (4)}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = 2 + \frac{90 (- y)}{90 \cdot 4}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = 2 + \frac{- y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 + \frac{- y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 + \frac{- y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$15 x + 40 y = 120$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2 - \frac{y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $15 x + 40 y = 120$ por $2 - \frac{y}{4}$ .

$15 (2 - \frac{y}{4}) + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $15 (2 - \frac{y}{4}) + 40 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$15 \cdot 2 + 15 (- \frac{y}{4}) + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $15$ por $2$ .

$30 + 15 (- \frac{y}{4}) + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $15 (- \frac{y}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$30 - 15 \frac{y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 15$ y $\frac{y}{4}$ .

$30 + \frac{- 15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{- 15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$30 - \frac{15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 - \frac{15 y}{4} + 40 y = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $40 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$30 - \frac{15 y}{4} + 40 y \cdot \frac{4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $40 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$30 - \frac{15 y}{4} + \frac{40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$30 + \frac{- 15 y + 40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{- 15 y + 40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1

Factoriza $5 y$ de $- 15 y + 40 y \cdot 4$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $5 y$ de $- 15 y$ .

$30 + \frac{5 y (- 3) + 40 y \cdot 4}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Factoriza $5 y$ de $40 y \cdot 4$ .

$30 + \frac{5 y (- 3) + 5 y (8 \cdot 4)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Factoriza $5 y$ de $5 y (- 3) + 5 y (8 \cdot 4)$ .

$30 + \frac{5 y (- 3 + 8 \cdot 4)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{5 y (- 3 + 8 \cdot 4)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$30 + \frac{5 y (- 3 + 32)}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.4.3

Suma $- 3$ y $32$ .

$30 + \frac{5 y \cdot 29}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 2.2.1.4.4

Multiplica $29$ por $5$ .

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$30 + \frac{145 y}{4} = 120$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $30 + \frac{145 y}{4} = 120$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $30$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{145 y}{4} = 120 - 30$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.1.2

Resta $30$ de $120$ .

$\frac{145 y}{4} = 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$\frac{145 y}{4} = 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{145}$ .

$\frac{4}{145} \cdot \frac{145 y}{4} = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{145} \cdot \frac{145 y}{4}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{145} \cdot \frac{145 y}{4} = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{145} \cdot (145 y) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$\frac{1}{145} \cdot (145 y) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $145$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $145$ de $145 y$ .

$\frac{1}{145} \cdot (145 (y)) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{145} \cdot (145 y) = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{145} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $\frac{4}{145} \cdot 90$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Factoriza $5$ de $145$ .

$y = \frac{4}{5 (29)} \cdot 90$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Factoriza $5$ de $90$ .

$y = \frac{4}{5 \cdot 29} \cdot (5 \cdot 18)$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{4}{5 \cdot 29} \cdot (5 \cdot 18)$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4}{29} \cdot 18$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{4}{29} \cdot 18$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Combina $\frac{4}{29}$ y $18$ .

$y = \frac{4 \cdot 18}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $4$ por $18$ .

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{72}{29}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 2 - \frac{y}{4}$ por $\frac{72}{29}$ .

$x = 2 - \frac{\frac{72}{29}}{4}$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $2 - \frac{\frac{72}{29}}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = 2 - (\frac{72}{29} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $72$ .

$x = 2 - (\frac{4 (18)}{29} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = 2 - (\frac{4 \cdot 18}{29} \cdot \frac{1}{4})$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = 2 - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = 2 - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{29}{29}$ .

$x = 2 \cdot \frac{29}{29} - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{29}{29}$ .

$x = \frac{2 \cdot 29}{29} - \frac{18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 \cdot 29 - 18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $29$ .

$x = \frac{58 - 18}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 4.2.1.5.2

Resta $18$ de $58$ .

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

$x = \frac{40}{29}$

$y = \frac{72}{29}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{40}{29}, \frac{72}{29})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{40}{29}, \frac{72}{29})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{40}{29}, y = \frac{72}{29}$

Paso 7