Matemática discreta Ejemplos

$30 x + 70 y = 16000$ , $45 x + 210 y = 34500$

Paso 1

Resuelve $x$ en $30 x + 70 y = 16000$ .

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Paso 1.1

Resta $70 y$ de ambos lados de la ecuación.

$30 x = 16000 - 70 y$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2

Divide cada término en $30 x = 16000 - 70 y$ por $30$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $30 x = 16000 - 70 y$ por $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{16000}{30} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 x}{30} = \frac{16000}{30} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{16000}{30} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{16000}{30} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{16000}{30} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $16000$ y $30$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $10$ de $16000$ .

$x = \frac{10 (1600)}{30} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $10$ de $30$ .

$x = \frac{10 \cdot 1600}{10 \cdot 3} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{10 \cdot 1600}{10 \cdot 3} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1600}{3} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} + \frac{- 70 y}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 70$ y $30$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $10$ de $- 70 y$ .

$x = \frac{1600}{3} + \frac{10 (- 7 y)}{30}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $10$ de $30$ .

$x = \frac{1600}{3} + \frac{10 (- 7 y)}{10 (3)}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{1600}{3} + \frac{10 (- 7 y)}{10 \cdot 3}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1600}{3} + \frac{- 7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} + \frac{- 7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} + \frac{- 7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$45 x + 210 y = 34500$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $45 x + 210 y = 34500$ por $\frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$ .

$45 (\frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $45 (\frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}) + 210 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$45 (\frac{1600}{3}) + 45 (- \frac{7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $45$ .

$3 (15) (\frac{1600}{3}) + 45 (- \frac{7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot (15 (\frac{1600}{3})) + 45 (- \frac{7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$15 \cdot 1600 + 45 (- \frac{7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$15 \cdot 1600 + 45 (- \frac{7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $15$ por $1600$ .

$24000 + 45 (- \frac{7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 y}{3}$ al numerador.

$24000 + 45 (\frac{- 7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Factoriza $3$ de $45$ .

$24000 + 3 (15) (\frac{- 7 y}{3}) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$24000 + 3 \cdot (15 (\frac{- 7 y}{3})) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$24000 + 15 (- 7 y) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$24000 + 15 (- 7 y) + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.5

Multiplica $- 7$ por $15$ .

$24000 - 105 y + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$24000 - 105 y + 210 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Suma $- 105 y$ y $210 y$ .

$24000 + 105 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$24000 + 105 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$24000 + 105 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$24000 + 105 y = 34500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $24000 + 105 y = 34500$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $24000$ de ambos lados de la ecuación.

$105 y = 34500 - 24000$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 3.1.2

Resta $24000$ de $34500$ .

$105 y = 10500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$105 y = 10500$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 3.2

Divide cada término en $105 y = 10500$ por $105$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $105 y = 10500$ por $105$ .

$\frac{105 y}{105} = \frac{10500}{105}$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $105$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{105 y}{105} = \frac{10500}{105}$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{10500}{105}$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$y = \frac{10500}{105}$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$y = \frac{10500}{105}$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $10500$ por $105$ .

$y = 100$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$y = 100$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$y = 100$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

$y = 100$

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $100$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{1600}{3} - \frac{7 y}{3}$ por $100$ .

$x = \frac{1600}{3} - \frac{7 (100)}{3}$

$y = 100$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{1600}{3} - \frac{7 (100)}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{1600 - 7 \cdot 100}{3}$

$y = 100$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 7$ por $100$ .

$x = \frac{1600 - 700}{3}$

$y = 100$

Paso 4.2.1.2.2

Resta $700$ de $1600$ .

$x = \frac{900}{3}$

$y = 100$

Paso 4.2.1.2.3

Divide $900$ por $3$ .

$x = 300$

$y = 100$

$x = 300$

$y = 100$

$x = 300$

$y = 100$

$x = 300$

$y = 100$

$x = 300$

$y = 100$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(300, 100)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(300, 100)$

Forma de la ecuación:

$x = 300, y = 100$

Paso 7