Matemática discreta Ejemplos

$30 x + 20 y = 440$ , $10 x + 25 y = 300$

Paso 1

Resuelve $x$ en $30 x + 20 y = 440$ .

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Paso 1.1

Resta $20 y$ de ambos lados de la ecuación.

$30 x = 440 - 20 y$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2

Divide cada término en $30 x = 440 - 20 y$ por $30$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $30 x = 440 - 20 y$ por $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{440}{30} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 x}{30} = \frac{440}{30} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{440}{30} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{440}{30} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{440}{30} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $440$ y $30$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $10$ de $440$ .

$x = \frac{10 (44)}{30} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $10$ de $30$ .

$x = \frac{10 \cdot 44}{10 \cdot 3} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{10 \cdot 44}{10 \cdot 3} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{44}{3} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} + \frac{- 20 y}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 20$ y $30$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $10$ de $- 20 y$ .

$x = \frac{44}{3} + \frac{10 (- 2 y)}{30}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $10$ de $30$ .

$x = \frac{44}{3} + \frac{10 (- 2 y)}{10 (3)}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{44}{3} + \frac{10 (- 2 y)}{10 \cdot 3}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{44}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 x + 25 y = 300$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $10 x + 25 y = 300$ por $\frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$ .

$10 (\frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}) + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $10 (\frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}) + 25 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (\frac{44}{3}) + 10 (- \frac{2 y}{3}) + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $10 (\frac{44}{3})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $10$ y $\frac{44}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 44}{3} + 10 (- \frac{2 y}{3}) + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $10$ por $44$ .

$\frac{440}{3} + 10 (- \frac{2 y}{3}) + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{440}{3} + 10 (- \frac{2 y}{3}) + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $10 (- \frac{2 y}{3})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{440}{3} - 10 \frac{2 y}{3} + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 10$ y $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{440}{3} + \frac{- 10 (2 y)}{3} + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$\frac{440}{3} + \frac{- 20 y}{3} + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{440}{3} + \frac{- 20 y}{3} + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{440}{3} - \frac{20 y}{3} + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{440}{3} - \frac{20 y}{3} + 25 y = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $25 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{440}{3} - \frac{20 y}{3} + 25 y \cdot \frac{3}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.3

Combina $25 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{440}{3} - \frac{20 y}{3} + \frac{25 y \cdot 3}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{440}{3} + \frac{- 20 y + 25 y \cdot 3}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{440 - 20 y + 25 y \cdot 3}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $3$ por $25$ .

$\frac{440 - 20 y + 75 y}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.7

Suma $- 20 y$ y $75 y$ .

$\frac{440 + 55 y}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.8

Factoriza $55$ de $440 + 55 y$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $55$ de $440$ .

$\frac{55 \cdot 8 + 55 y}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $55$ de $55 \cdot 8 + 55 y$ .

$\frac{55 (8 + y)}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{55 (8 + y)}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{55 (8 + y)}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{55 (8 + y)}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{55 (8 + y)}{3} = 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{55 (8 + y)}{3} = 300$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{55}$ .

$\frac{3}{55} \cdot \frac{55 (8 + y)}{3} = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{3}{55} \cdot \frac{55 (8 + y)}{3}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{55} \cdot \frac{55 (8 + y)}{3} = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{55} \cdot (55 (8 + y)) = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{55} \cdot (55 (8 + y)) = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $55$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{55} \cdot (55 (8 + y)) = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$8 + y = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$8 + y = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$8 + y = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$8 + y = \frac{3}{55} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{3}{55} \cdot 300$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Factoriza $5$ de $55$ .

$8 + y = \frac{3}{5 (11)} \cdot 300$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Factoriza $5$ de $300$ .

$8 + y = \frac{3}{5 \cdot 11} \cdot (5 \cdot 60)$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$8 + y = \frac{3}{5 \cdot 11} \cdot (5 \cdot 60)$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$8 + y = \frac{3}{11} \cdot 60$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$8 + y = \frac{3}{11} \cdot 60$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Combina $\frac{3}{11}$ y $60$ .

$8 + y = \frac{3 \cdot 60}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $60$ .

$8 + y = \frac{180}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$8 + y = \frac{180}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$8 + y = \frac{180}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$8 + y = \frac{180}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{180}{11} - 8$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.2

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{180}{11} - 8 \cdot \frac{11}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.3

Combina $- 8$ y $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{180}{11} + \frac{- 8 \cdot 11}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{180 - 8 \cdot 11}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $- 8$ por $11$ .

$y = \frac{180 - 88}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 3.3.5.2

Resta $88$ de $180$ .

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{92}{11}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{44}{3} - \frac{2 y}{3}$ por $\frac{92}{11}$ .

$x = \frac{44}{3} - \frac{2 (\frac{92}{11})}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{44}{3} - \frac{2 (\frac{92}{11})}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{44 - 2 (\frac{92}{11})}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 2 (\frac{92}{11})$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{92}{11}$ .

$x = \frac{44 + \frac{- 2 \cdot 92}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $92$ .

$x = \frac{44 + \frac{- 184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{44 + \frac{- 184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{44 - \frac{184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{44 - \frac{184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $44$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{44 \cdot \frac{11}{11} - \frac{184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.4

Combina $44$ y $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{\frac{44 \cdot 11}{11} - \frac{184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{44 \cdot 11 - 184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $44$ por $11$ .

$x = \frac{\frac{484 - 184}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.6.2

Resta $184$ de $484$ .

$x = \frac{\frac{300}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{\frac{300}{11}}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{300}{11} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Factoriza $3$ de $300$ .

$x = \frac{3 (100)}{11} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 100}{11} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{100}{11}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{100}{11}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{100}{11}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{100}{11}$

$y = \frac{92}{11}$

$x = \frac{100}{11}$

$y = \frac{92}{11}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{100}{11}, \frac{92}{11})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{100}{11}, \frac{92}{11})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{100}{11}, y = \frac{92}{11}$

Paso 7