Matemática discreta Ejemplos

$2 x y + 1 = 0$ , $x + 36 y = 3$

Paso 1

Resta $36 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 3 - 36 y$

$2 x y + 1 = 0$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3 - 36 y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x y + 1 = 0$ por $3 - 36 y$ .

$2 (3 - 36 y) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 3 + 2 (- 36 y)) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$(6 + 2 (- 36 y)) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $2$ .

$(6 - 72 y) \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 2.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 y - 72 y \cdot y + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 2.2.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.5.1

Mueve $y$ .

$6 y - 72 (y \cdot y) + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $6 y - 72 y^{2} + 1 = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$6 u - 72 u^{2} + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.2.1

Reordena los términos.

$- 72 u^{2} + 6 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 72 \cdot 1 = - 72$ y cuya suma es $b = 6$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Factoriza $6$ de $6 u$ .

$- 72 u^{2} + 6 (u) + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe $6$ como $- 6$ más $12$

$- 72 u^{2} + (- 6 + 12) u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 72 u^{2} - 6 u + 12 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

$- 72 u^{2} - 6 u + 12 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- 72 u^{2} - 6 u) + 12 u + 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$6 u (- 12 u - 1) - (- 12 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

$6 u (- 12 u - 1) - (- 12 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 12 u - 1$ .

$(- 12 u - 1) (6 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

$(- 12 u - 1) (6 u - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$(- 12 y - 1) (6 y - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

$(- 12 y - 1) (6 y - 1) = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 12 y - 1 = 0$

$6 y - 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.3

Establece $- 12 y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.3.1

Establece $- 12 y - 1$ igual a $0$ .

$- 12 y - 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.3.2

Resuelve $- 12 y - 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 12 y = 1$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.3.2.2

Divide cada término en $- 12 y = 1$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.2.1

Divide cada término en $- 12 y = 1$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.3.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{- 12}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.4

Establece $6 y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.4.1

Establece $6 y - 1$ igual a $0$ .

$6 y - 1 = 0$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.4.2

Resuelve $6 y - 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y = 1$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $6 y = 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $6 y = 1$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y}{6} = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- 12 y - 1) (6 y - 1) = 0$ verdadera.

$y = - \frac{1}{12}, \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

$y = - \frac{1}{12}, \frac{1}{6}$

$x = 3 - 36 y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{1}{12}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 3 - 36 y$ por $- \frac{1}{12}$ .

$x = 3 - 36 (- \frac{1}{12})$

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $3 - 36 (- \frac{1}{12})$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{12}$ al numerador.

$x = 3 - 36 (\frac{- 1}{12})$

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 4.2.1.1.1.2

Factoriza $12$ de $- 36$ .

$x = 3 + 12 (- 3) (\frac{- 1}{12})$

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 4.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = 3 + 12 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{12}))$

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 4.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = 3 - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 - 3 \cdot - 1$

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3 + 3$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 3 + 3$

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 4.2.1.2

Suma $3$ y $3$ .

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

$x = 6$

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{1}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 3 - 36 y$ por $\frac{1}{6}$ .

$x = 3 - 36 (\frac{1}{6})$

$y = \frac{1}{6}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $3 - 36 (\frac{1}{6})$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $6$ de $- 36$ .

$x = 3 + 6 (- 6) (\frac{1}{6})$

$y = \frac{1}{6}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = 3 + 6 \cdot (- 6 (\frac{1}{6}))$

$y = \frac{1}{6}$

Paso 5.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 3 - 6$

$y = \frac{1}{6}$

$x = 3 - 6$

$y = \frac{1}{6}$

Paso 5.2.1.2

Resta $6$ de $3$ .

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

$x = - 3$

$y = \frac{1}{6}$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(6, - \frac{1}{12})$

$(- 3, \frac{1}{6})$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(6, - \frac{1}{12}), (- 3, \frac{1}{6})$

Forma de la ecuación:

$x = 6, y = - \frac{1}{12}$

$x = - 3, y = \frac{1}{6}$

Paso 8