Matemática discreta Ejemplos

$x + 2 y - z = 4$ , $2 x + y + z = - 2$ , $x + 2 y + z = 2$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x - z = 4 - 2 y$

$2 x + y + z = - 2$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 1.2

Suma $z$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4 - 2 y + z$

$2 x + y + z = - 2$

$x + 2 y + z = 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$2 x + y + z = - 2$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $4 - 2 y + z$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + y + z = - 2$ por $4 - 2 y + z$ .

$2 (4 - 2 y + z) + y + z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 (4 - 2 y + z) + y + z$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 4 + 2 (- 2 y) + 2 z + y + z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 + 2 (- 2 y) + 2 z + y + z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$8 - 4 y + 2 z + y + z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

$8 - 4 y + 2 z + y + z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

$8 - 4 y + 2 z + y + z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $- 4 y$ y $y$ .

$8 - 3 y + 2 z + z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $2 z$ y $z$ .

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$x + 2 y + z = 2$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x + 2 y + z = 2$ por $4 - 2 y + z$ .

$(4 - 2 y + z) + 2 y + z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $(4 - 2 y + z) + 2 y + z$ .

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Paso 2.4.1.1

Combina los términos opuestos en $(4 - 2 y + z) + 2 y + z$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$4 + z + 0 + z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 2.4.1.1.2

Suma $4 + z$ y $0$ .

$4 + z + z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$4 + z + z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 2.4.1.2

Suma $z$ y $z$ .

$4 + 2 z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$4 + 2 z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$4 + 2 z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$4 + 2 z = 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 3

Resuelve $z$ en $4 + 2 z = 2$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 z = 2 - 4$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 3.1.2

Resta $4$ de $2$ .

$2 z = - 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$2 z = - 2$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 z = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 z = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 z}{2} = \frac{- 2}{2}$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 z}{2} = \frac{- 2}{2}$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{- 2}{2}$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$z = \frac{- 2}{2}$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$z = \frac{- 2}{2}$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$z = - 1$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$z = - 1$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$z = - 1$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

$z = - 1$

$8 - 3 y + 3 z = - 2$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $z$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $8 - 3 y + 3 z = - 2$ por $- 1$ .

$8 - 3 y + 3 (- 1) = - 2$

$z = - 1$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $8 - 3 y + 3 (- 1)$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$8 - 3 y - 3 = - 2$

$z = - 1$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 4.2.1.2

Resta $3$ de $8$ .

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

$x = 4 - 2 y + z$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

$x = 4 - 2 y + z$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

$x = 4 - 2 y + z$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = 4 - 2 y + z$ por $- 1$ .

$x = 4 - 2 y - 1$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

Paso 4.4

Simplifica $x = 4 - 2 y - 1$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 4 - 2 y - 1$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

$x = 4 - 2 y - 1$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Resta $1$ de $4$ .

$x = - 2 y + 3$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

$x = - 2 y + 3$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

$x = - 2 y + 3$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

$x = - 2 y + 3$

$- 3 y + 5 = - 2$

$z = - 1$

Paso 5

Resuelve $y$ en $- 3 y + 5 = - 2$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = - 2 - 5$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

Paso 5.1.2

Resta $5$ de $- 2$ .

$- 3 y = - 7$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

$- 3 y = - 7$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 3 y = - 7$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 3 y = - 7$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 7}{- 3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 7}{- 3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

$y = \frac{- 7}{- 3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

$y = \frac{- 7}{- 3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{7}{3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

$y = \frac{7}{3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

$y = \frac{7}{3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

$y = \frac{7}{3}$

$x = - 2 y + 3$

$z = - 1$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{7}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - 2 y + 3$ por $\frac{7}{3}$ .

$x = - 2 (\frac{7}{3}) + 3$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- 2 (\frac{7}{3}) + 3$ .

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Paso 6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica $- 2 (\frac{7}{3})$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{7}{3}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{3} + 3$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$x = \frac{- 14}{3} + 3$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

$x = \frac{- 14}{3} + 3$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{14}{3} + 3$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{14}{3} + 3$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{14}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{14}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 14 + 3 \cdot 3}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{- 14 + 9}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.5.2

Suma $- 14$ y $9$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

$x = \frac{- 5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

$x = - \frac{5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

Paso 7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, - 1)$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, - 1)$

Forma de la ecuación:

$x = - \frac{5}{3}, y = \frac{7}{3}, z = - 1$