Matemática discreta Ejemplos

$x - y = 1$ , $2 x - 8 z = 8$ , $8 y + z = 6$

Paso 1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1 + y$

$2 x - 8 z = 8$

$8 y + z = 6$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $1 + y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x - 8 z = 8$ por $1 + y$ .

$2 (1 + y) - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$x = 1 + y$

$8 y + z = 6$

Paso 3

Reordena $1$ y $y$ .

$x = y + 1$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

$8 y + z = 6$

Paso 4

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$2 + 2 y - 8 z = 8$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $z$ por $6 - 8 y$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $2 + 2 y - 8 z = 8$ por $6 - 8 y$ .

$2 + 2 y - 8 (6 - 8 y) = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $2 + 2 y - 8 (6 - 8 y)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 2 y - 8 \cdot 6 - 8 (- 8 y) = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$2 + 2 y - 48 - 8 (- 8 y) = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$2 + 2 y - 48 + 64 y = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$2 + 2 y - 48 + 64 y = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 5.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.1.2.1

Resta $48$ de $2$ .

$2 y - 46 + 64 y = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 5.2.1.2.2

Suma $2 y$ y $64 y$ .

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y - 46 = 8$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6

Resuelve $y$ en $66 y - 46 = 8$ .

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Paso 6.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Suma $46$ a ambos lados de la ecuación.

$66 y = 8 + 46$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.1.2

Suma $8$ y $46$ .

$66 y = 54$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$66 y = 54$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $66 y = 54$ por $66$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $66 y = 54$ por $66$ .

$\frac{66 y}{66} = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $66$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{66 y}{66} = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{54}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $54$ y $66$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $6$ de $54$ .

$y = \frac{6 (9)}{66}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $66$ .

$y = \frac{6 \cdot 9}{6 \cdot 11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{6 \cdot 9}{6 \cdot 11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

$y = \frac{9}{11}$

$z = 6 - 8 y$

$x = y + 1$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{9}{11}$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $z = 6 - 8 y$ por $\frac{9}{11}$ .

$z = 6 - 8 (\frac{9}{11})$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica $6 - 8 (\frac{9}{11})$ .

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Paso 7.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica $- 8 (\frac{9}{11})$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Combina $- 8$ y $\frac{9}{11}$ .

$z = 6 + \frac{- 8 \cdot 9}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.1.1.2

Multiplica $- 8$ por $9$ .

$z = 6 + \frac{- 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = 6 + \frac{- 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = 6 - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = 6 - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{11}{11}$ .

$z = 6 \cdot \frac{11}{11} - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.3

Combina $6$ y $\frac{11}{11}$ .

$z = \frac{6 \cdot 11}{11} - \frac{72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z = \frac{6 \cdot 11 - 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.5.1

Multiplica $6$ por $11$ .

$z = \frac{66 - 72}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.5.2

Resta $72$ de $66$ .

$z = \frac{- 6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = \frac{- 6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = y + 1$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = y + 1$ por $\frac{9}{11}$ .

$x = (\frac{9}{11}) + 1$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Simplifica $(\frac{9}{11}) + 1$ .

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Paso 7.4.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x = \frac{9}{11} + \frac{11}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Paso 7.4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{9 + 11}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Paso 7.4.1.3

Suma $9$ y $11$ .

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

$x = \frac{20}{11}$

$z = - \frac{6}{11}$

$y = \frac{9}{11}$

Paso 8

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{20}{11}, \frac{9}{11}, - \frac{6}{11})$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{20}{11}, \frac{9}{11}, - \frac{6}{11})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{20}{11}, y = \frac{9}{11}, z = - \frac{6}{11}$