Matemática discreta Ejemplos

$x - 8 y = - 21$ , $- 4 x + 2 y = - 18$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - (- 4 \cdot - 8)$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot - 8)$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$2 - 1 \cdot 32$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$2 - 32$

Paso 2.3.2

Resta $32$ de $2$ .

$- 30$

$D = - 30$

Paso 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |$

Paso 4.2

Find the determinant.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 21$ por $2$ .

$- 42 - (- 18 \cdot - 8)$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- (- 18 \cdot - 8)$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Multiplica $- 18$ por $- 8$ .

$- 42 - 1 \cdot 144$

Paso 4.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$- 42 - 144$

Paso 4.2.2.2

Resta $144$ de $- 42$ .

$- 186$

$D_{x} = - 186$

Paso 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 186$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 186}{- 30}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $- 186$ y $- 30$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $- 6$ de $- 186$ .

$x = \frac{- 6 (31)}{- 30}$

Paso 4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1

Factoriza $- 6$ de $- 30$ .

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Paso 4.5.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Paso 4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{31}{5}$

Paso 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$- 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- (- 4 \cdot - 21)$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 21$ .

$- 18 - 1 \cdot 84$

Paso 5.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $84$ .

$- 18 - 84$

Paso 5.2.2.2

Resta $84$ de $- 18$ .

$- 102$

$D_{y} = - 102$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 102$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 102}{- 30}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $- 102$ y $- 30$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $- 6$ de $- 102$ .

$y = \frac{- 6 (17)}{- 30}$

Paso 5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.1

Factoriza $- 6$ de $- 30$ .

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Paso 5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{17}{5}$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{31}{5}$

$y = \frac{17}{5}$