Matemática discreta Ejemplos

$x = 7 (y - 5)$ , $4 y = 3 x + 5$

Paso 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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Paso 1.1

Resta $7 (y - 5)$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 7 (y - 5) = 0$

$4 y = 3 x + 5$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

$x - 7 y + 35 = 0$

$4 y = 3 x + 5$

Paso 1.3

Resta $35$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 7 y = - 35$

$4 y = 3 x + 5$

Paso 1.4

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 7 y = - 35$

$4 y - 3 x = 5$

Paso 1.5

Reordena $4 y$ y $- 3 x$ .

$x - 7 y = - 35$

$- 3 x + 4 y = 5$

$x - 7 y = - 35$

$- 3 x + 4 y = 5$

Paso 2

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 \\ - 3 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 35 \\ 5 \end{array}]$

Paso 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 7 \\ - 3 & 4 \end{array}]$ .

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Paso 3.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 7 \\ - 3 & 4 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 - (- 3 \cdot - 7)$

Paso 3.3

Simplifica el determinante.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - (- 3 \cdot - 7)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot - 7)$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 7$ .

$4 - 1 \cdot 21$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $21$ .

$4 - 21$

Paso 3.3.2

Resta $21$ de $4$ .

$- 17$

$D = - 17$

Paso 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 35 \\ 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 35 & - 7 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 35 \cdot 4 - 5 \cdot - 7$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $- 35$ por $4$ .

$- 140 - 5 \cdot - 7$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $- 7$ .

$- 140 + 35$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 140$ y $35$ .

$- 105$

$D_{x} = - 105$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- 17$ for $D$ and $- 105$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 105}{- 17}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{105}{17}$

Paso 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 35 \\ 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 35 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2

Find the determinant.

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Paso 6.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 5 - (- 3 \cdot - 35)$

Paso 6.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 - (- 3 \cdot - 35)$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica $- (- 3 \cdot - 35)$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 35$ .

$5 - 1 \cdot 105$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $105$ .

$5 - 105$

Paso 6.2.2.2

Resta $105$ de $5$ .

$- 100$

$D_{y} = - 100$

Paso 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 6.4

Substitute $- 17$ for $D$ and $- 100$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 100}{- 17}$

Paso 6.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{100}{17}$

Paso 7

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{105}{17}$

$y = \frac{100}{17}$