Matemática discreta Ejemplos

$- x + 3 y = 1$ , $x + y = 4$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 1 - 3$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$- 4$

$D = - 4$

Paso 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Paso 4.2

Find the determinant.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - 4 \cdot 3$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 - 4 \cdot 3$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$1 - 12$

Paso 4.2.2.2

Resta $12$ de $1$ .

$- 11$

$D_{x} = - 11$

Paso 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Substitute $- 4$ for $D$ and $- 11$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 11}{- 4}$

Paso 4.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{11}{4}$

Paso 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 1$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 - 1 \cdot 1$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 4 - 1$

Paso 5.2.2.2

Resta $1$ de $- 4$ .

$- 5$

$D_{y} = - 5$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- 4$ for $D$ and $- 5$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 5}{- 4}$

Paso 5.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{5}{4}$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{11}{4}$

$y = \frac{5}{4}$