Matemática discreta Ejemplos

$x + 2 y - 3 z = 4$ , $2 x + 5 y + 2 z = 18$ , $7 x + 16 y - 5 z = 48$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 7 & 16 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 18 \\ 48 \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 7 & 16 & - 5 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 7 & 16 & - 5 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 7 & 16 & - 5 \end{array} |$

Paso 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 16 & - 5 \end{array} |$

Paso 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 16 & - 5 \end{array} |$

Paso 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} |$

Paso 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} |$

Paso 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 16 & - 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 16 & - 5 \end{array} |$ .

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Paso 2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (5 \cdot - 5 - 16 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$1 (- 25 - 16 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$1 (- 25 - 32) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.3.2.2

Resta $32$ de $- 25$ .

$1 \cdot - 57 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 7 & - 5 \end{array} |$ .

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Paso 2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 57 - 2 (2 \cdot - 5 - 7 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$1 \cdot - 57 - 2 (- 10 - 7 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$1 \cdot - 57 - 2 (- 10 - 14) - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.4.2.2

Resta $14$ de $- 10$ .

$1 \cdot - 57 - 2 \cdot - 24 - 3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$

Paso 2.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 7 & 16 \end{array} |$ .

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Paso 2.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 57 - 2 \cdot - 24 - 3 (2 \cdot 16 - 7 \cdot 5)$

Paso 2.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $2$ por $16$ .

$1 \cdot - 57 - 2 \cdot - 24 - 3 (32 - 7 \cdot 5)$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $5$ .

$1 \cdot - 57 - 2 \cdot - 24 - 3 (32 - 35)$

Paso 2.5.2.2

Resta $35$ de $32$ .

$1 \cdot - 57 - 2 \cdot - 24 - 3 \cdot - 3$

Paso 2.6

Simplifica el determinante.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Multiplica $- 57$ por $1$ .

$- 57 - 2 \cdot - 24 - 3 \cdot - 3$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 24$ .

$- 57 + 48 - 3 \cdot - 3$

Paso 2.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$- 57 + 48 + 9$

Paso 2.6.2

Suma $- 57$ y $48$ .

$- 9 + 9$

Paso 2.6.3

Suma $- 9$ y $9$ .

$0$

$D = 0$

Paso 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.