Matemática discreta Ejemplos

$x + 2 y = 7$ , $2 x - y = 4$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Paso 2.2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 2$

Paso 2.3

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - 2 \cdot 2$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 1 - 4$

Paso 2.3.2

Resta $4$ de $- 1$ .

$- 5$

$D = - 5$

Paso 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 7 & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Paso 4.2

Find the determinant.

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Paso 4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 \cdot - 1 - 4 \cdot 2$

Paso 4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- 7 - 4 \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$- 7 - 8$

Paso 4.2.2.2

Resta $8$ de $- 7$ .

$- 15$

$D_{x} = - 15$

Paso 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 15$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 15}{- 5}$

Paso 4.5

Divide $- 15$ por $- 5$ .

$x = 3$

Paso 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 - 2 \cdot 7$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 2 \cdot 7$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$4 - 14$

Paso 5.2.2.2

Resta $14$ de $4$ .

$- 10$

$D_{y} = - 10$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 10$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{- 5}$

Paso 5.5

Divide $- 10$ por $- 5$ .

$y = 2$

Paso 6

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = 3$

$y = 2$