Matemática discreta Ejemplos

$8 x \cdot 1 + 9 x \cdot 2 = 117$ , $4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 1

Simplifica $8 x \cdot 1 + 9 x \cdot 2$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 x + 9 x \cdot 2 = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 1.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$8 x + 18 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$8 x + 18 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 1.2

Suma $8 x$ y $18 x$ .

$26 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$26 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 2

Divide cada término en $26 x = 117$ por $26$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $26 x = 117$ por $26$ .

$\frac{26 x}{26} = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $26$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{26 x}{26} = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $117$ y $26$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $13$ de $117$ .

$x = \frac{13 (9)}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $13$ de $26$ .

$x = \frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Paso 3

Simplifica $4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2$ .

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 x + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 3.1.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$4 x + 12 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x + 12 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 3.2

Suma $4 x$ y $12 x$ .

$16 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$16 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4

Divide cada término en $16 x = 66$ por $16$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $16 x = 66$ por $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 x}{16} = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $66$ y $16$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $66$ .

$x = \frac{2 (33)}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$x = \frac{2 \cdot 33}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 33}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

Paso 5

Como las raíces de una ecuación son los puntos en los que la solución es $0$ , establece cada raíz como un factor de la ecuación que sea igual a $0$ .

$(x - \frac{9}{2}) (x - \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Expande $(x - \frac{9}{2}) (x - \frac{33}{8})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} \cdot (x - \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} \cdot (x - \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.2.1.2

Combina $x$ y $\frac{33}{8}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 33}{8} - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.2.1.3

Mueve $33$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - \frac{33 \cdot x}{8} - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.2.1.4

Combina $x$ y $\frac{9}{2}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.2.1.5

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 \cdot x}{2} - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- \frac{9}{2} (- \frac{33}{8})$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + 1 (\frac{9}{2}) \cdot \frac{33}{8} = 0$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{33}{8} = 0$

Paso 6.2.1.6.3

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{33}{8}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot 33}{2 \cdot 8} = 0$

Paso 6.2.1.6.4

Multiplica $9$ por $33$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{297}{2 \cdot 8} = 0$

Paso 6.2.1.6.5

Multiplica $2$ por $8$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.2

Para escribir $- \frac{9 x}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $\frac{9 x}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{- 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.5

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8}{8} + \frac{- 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.8

Para escribir $\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.9.1

Multiplica $\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.9.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2}{16} + \frac{297}{16} = 0$

Paso 6.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{(8 \cdot x^{2} - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$\frac{(8 x^{2} - 33 x - 36 x) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.2

Resta $36 x$ de $- 33 x$ .

$\frac{(8 x^{2} - 69 x) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} \cdot 2 - 69 x \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 69 x \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.5

Multiplica $2$ por $- 69$ .

$\frac{16 x^{2} - 138 x + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.3.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 16 \cdot 297 = 4752$ y cuya suma es $b = - 138$ .

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Paso 6.3.6.1.1

Factoriza $- 138$ de $- 138 x$ .

$\frac{16 x^{2} - 138 x + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.6.1.2

Reescribe $- 138$ como $- 66$ más $- 72$

$\frac{16 x^{2} + (- 66 - 72) x + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{16 x^{2} - 66 x - 72 x + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.3.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(16 x^{2} - 66 x) - 72 x + 297}{16} = 0$

Paso 6.3.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (8 x - 33) - 9 (8 x - 33)}{16} = 0$

Paso 6.3.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $8 x - 33$ .

$\frac{(8 x - 33) (2 x - 9)}{16} = 0$