Matemática discreta Ejemplos

$7 x + 3 y + 5 z = 16$ , $3 x + y + 2 z = 20$

Paso 1

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x + 5 z = 16 - 3 y$

$3 x + y + 2 z = 20$

Paso 1.1.2

Resta $5 z$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x = 16 - 3 y - 5 z$

$3 x + y + 2 z = 20$

$7 x = 16 - 3 y - 5 z$

$3 x + y + 2 z = 20$

Paso 1.2

Divide cada término en $7 x = 16 - 3 y - 5 z$ por $7$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $7 x = 16 - 3 y - 5 z$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{16}{7} + \frac{- 3 y}{7} + \frac{- 5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{16}{7} + \frac{- 3 y}{7} + \frac{- 5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{7} + \frac{- 3 y}{7} + \frac{- 5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} + \frac{- 3 y}{7} + \frac{- 5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} + \frac{- 3 y}{7} + \frac{- 5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} + \frac{- 5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$3 x + y + 2 z = 20$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 2.1

Simplifica $3 (\frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}) + y + 2 z$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{16}{7}) + 3 (- \frac{3 y}{7}) + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.1.2.1

Multiplica $3 (\frac{16}{7})$ .

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Paso 2.1.1.2.1.1

Combina $3$ y $\frac{16}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 16}{7} + 3 (- \frac{3 y}{7}) + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{48}{7} + 3 (- \frac{3 y}{7}) + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{48}{7} + 3 (- \frac{3 y}{7}) + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2.2

Multiplica $3 (- \frac{3 y}{7})$ .

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Paso 2.1.1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{48}{7} - 3 \frac{3 y}{7} + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{48}{7} + \frac{- 3 (3 y)}{7} + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{48}{7} + \frac{- 9 y}{7} + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{48}{7} + \frac{- 9 y}{7} + 3 (- \frac{5 z}{7}) + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2.3

Multiplica $3 (- \frac{5 z}{7})$ .

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Paso 2.1.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{48}{7} + \frac{- 9 y}{7} - 3 \frac{5 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{5 z}{7}$ .

$\frac{48}{7} + \frac{- 9 y}{7} + \frac{- 3 (5 z)}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.2.3.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{48}{7} + \frac{- 9 y}{7} + \frac{- 15 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{48}{7} + \frac{- 9 y}{7} + \frac{- 15 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{48}{7} + \frac{- 9 y}{7} + \frac{- 15 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{48}{7} - \frac{9 y}{7} + \frac{- 15 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{48}{7} - \frac{9 y}{7} - \frac{15 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{48}{7} - \frac{9 y}{7} - \frac{15 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{48}{7} - \frac{9 y}{7} - \frac{15 z}{7} + y + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.2

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{48}{7} - \frac{15 z}{7} - \frac{9 y}{7} + y \cdot \frac{7}{7} + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.3.1

Combina $y$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{48}{7} - \frac{15 z}{7} - \frac{9 y}{7} + \frac{y \cdot 7}{7} + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{48}{7} - \frac{15 z}{7} + \frac{- 9 y + y \cdot 7}{7} + 2 z = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 z + \frac{48 - 15 z - 9 y + y \cdot 7}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$2 z + \frac{48 - 15 z - 9 y + y \cdot 7}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.4

Mueve $7$ a la izquierda de $y$ .

$2 z + \frac{48 - 15 z - 9 y + 7 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.5

Suma $- 9 y$ y $7 y$ .

$2 z + \frac{48 - 15 z - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.6

Para escribir $2 z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$2 z \cdot \frac{7}{7} + \frac{48 - 15 z - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.7

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.7.1

Combina $2 z$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2 z \cdot 7}{7} + \frac{48 - 15 z - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 z \cdot 7 + 48 - 15 z - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{2 z \cdot 7 + 48 - 15 z - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{14 z + 48 - 15 z - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.8.2

Resta $15 z$ de $14 z$ .

$\frac{- z + 48 - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$\frac{- z + 48 - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1.9.1

Factoriza $- 1$ de $- z$ .

$\frac{- (z) + 48 - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.9.2

Reescribe $48$ como $- 1 (- 48)$ .

$\frac{- (z) - 1 \cdot - 48 - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.9.3

Factoriza $- 1$ de $- (z) - 1 (- 48)$ .

$\frac{- (z - 48) - 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.9.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$\frac{- (z - 48) - (2 y)}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.9.5

Factoriza $- 1$ de $- (z - 48) - (2 y)$ .

$\frac{- (z - 48 + 2 y)}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.9.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.9.6.1

Reescribe $- (z - 48 + 2 y)$ como $- 1 (z - 48 + 2 y)$ .

$\frac{- 1 (z - 48 + 2 y)}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.1.9.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{z - 48 + 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$- \frac{z - 48 + 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$- \frac{z - 48 + 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$- \frac{z - 48 + 2 y}{7} = 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 7$ .

$- 7 (- \frac{z - 48 + 2 y}{7}) = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica $- 7 (- \frac{z - 48 + 2 y}{7})$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{z - 48 + 2 y}{7}$ al numerador.

$- 7 \frac{- (z - 48 + 2 y)}{7} = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$7 (- 1) (\frac{- (z - 48 + 2 y)}{7}) = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (z - 48 + 2 y)}{7}) = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$z - 48 + 2 y = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z - 48 + 2 y = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (z - 48 + 2 y) = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.3.1.1.2.2

Multiplica $z - 48 + 2 y$ por $1$ .

$z - 48 + 2 y = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z - 48 + 2 y = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z - 48 + 2 y = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z - 48 + 2 y = - 7 \cdot 20$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $- 7$ por $20$ .

$z - 48 + 2 y = - 140$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z - 48 + 2 y = - 140$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z - 48 + 2 y = - 140$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.4

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $48$ a ambos lados de la ecuación.

$z + 2 y = - 140 + 48$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.4.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 140 + 48 - 2 y$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 2.4.3

Suma $- 140$ y $48$ .

$z = - 92 - 2 y$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

$x = \frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 z}{7}$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Simplifica $\frac{16}{7} - \frac{3 y}{7} - \frac{5 (- 92 - 2 y)}{7}$ .

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Paso 3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{16 - 3 y - 5 (- 92 - 2 y)}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{16 - 3 y - 5 \cdot - 92 - 5 (- 2 y)}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 92$ .

$x = \frac{16 - 3 y + 460 - 5 (- 2 y)}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$x = \frac{16 - 3 y + 460 + 10 y}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

$x = \frac{16 - 3 y + 460 + 10 y}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.3.1

Suma $16$ y $460$ .

$x = \frac{- 3 y + 476 + 10 y}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.2

Suma $- 3 y$ y $10 y$ .

$x = \frac{7 y + 476}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.3

Cancela el factor común de $7 y + 476$ y $7$ .

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Paso 3.1.3.3.1

Factoriza $7$ de $7 y$ .

$x = \frac{7 (y) + 476}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.3.2

Factoriza $7$ de $476$ .

$x = \frac{7 (y) + 7 \cdot 68}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.3.3

Factoriza $7$ de $7 (y) + 7 (68)$ .

$x = \frac{7 (y + 68)}{7}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.3.4.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$x = \frac{7 (y + 68)}{7 (1)}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{7 (y + 68)}{7 \cdot 1}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y + 68}{1}$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 3.1.3.3.4.4

Divide $y + 68$ por $1$ .

$x = y + 68$

$z = - 92 - 2 y$

$x = y + 68$

$z = - 92 - 2 y$

$x = y + 68$

$z = - 92 - 2 y$

$x = y + 68$

$z = - 92 - 2 y$

$x = y + 68$

$z = - 92 - 2 y$

$x = y + 68$

$z = - 92 - 2 y$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Reordena $- 92$ y $- 2 y$ .

$z = - 2 y - 92$

$x = y + 68$

$z = - 2 y - 92$

$x = y + 68$